Abbildung auf linear prüfen und Darstellungsmatrix bestimmen:

Question

Aufgabe:

Sei A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) ∈ M2,2(ℝ) und V = M2,2(ℝ) der Vektorraum der reellen 2x2 Matrizen. Sei φ: V → V definiert durch die Abbildungsvorschrift φ(B) = A*B für alle B ∈ V.

a.) Zeigen Sie, dass φ linear ist.

Das System B =(\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \))  ist eine Basis von V.

b.) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M^B_B (φ).

Problem/Ansatz:

Ich hab Schwierigkeiten diese Abbildung φ zu verstehen, mir ist klar das Sie auf sich selbst abbildet, aber wie soll man zeigen, dass die linear ist (mit Homogenität und Addivität? oder doch etwas Anderes?). Und vorallem die Basis B verwirrt mich sehr, da ich noch nie Matrizen als Basis gesehen habe.

Answer 1

a)  Du musst zeigen, dass gilt   (i)   φ(X+Y) =  φ(X) +  φ(Y) für alle X,Y ∈ V

und   (ii)   φ(x*Y) =  x*φ(Y) für alle x∈ℝ und Y ∈ V.

(i)  φ(X+Y)   [Def. von φ ]

=A * (X+Y)[Distributivgesetz für Matrizen]

=A * X+  A * Y    [Def. von φ ]

=  φ(X) +  φ(Y).

Ähnlich zeigst du (ii) . Hier hängt es also gar nicht von der

speziellen Matrix A ab.

b) Bestimme die Bilder der "Basisvektoren" [Das sind hier die 4 Matrizen]

und stelle sie als Linearkombination der Basisvektoren dar. Z.B. der erste

\( φ(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} )\)  = A *\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 2& 0 \end{pmatrix} \)

$$= 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1& 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Und die Faktoren, die du dafür brauchst bilden die erste Spalte

der gesuchten Matrix. also

0
0
2
0.

Mit \( φ(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} )\) bestimmst du

die 2. Spalte und hast dann schon mal

0   0
0   0
2   0
0   2

bis du die ganze 4x4 Matrix zusammen hast.

Comments

Zu (ii): φ(x*Y) = A*c*Y = c*A*Y= cφ(Y)

Das wäre es eigentlich, oder?