Was bringt der Multiplikator (1/n-1) bei der Strichprobenvarianz?

Question

Aufgabe:

Formel für die Stichprobenvarianz bei einer Normalverteilung:

$s^{2}=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$

n = Stichprobe

xi = Wert an der i-ten Stelle meiner Stichprobe

xquer = arithmetisches Mittel der Stichprobe

s² = Strichprobenvarianz

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Rechte Seite der Formel. Da berechnet man ja einfach den quadratischen Abstand zum Mittelwert, dadurch die quadratische Streuung.

Wieso multipliziert man dann diesen Teil mit (1/n-1) ? also zB wenn meine Strichprobe die grösse 19 hat,

dann hätte ich ja 1/19 * sd².. Was bringt mir das?

Answer 1

Mit diesem Faktor wird die berechnete empirsche Varianz erwartungstreu.

Answer 2

Aloha :)

Die Varianz einer Zufallsvariablen $X$ ist definiert als der Mittelwert der quadratischen Abweichungen der Werte $x_i$ vom Erwartungswert $\mu$. Formal heißt das:$$V(X)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2$$Den exakten Erwartungswert $\mu$ der Zufallsvariablen $X$ kann man jedoch nur bestimmen, wenn man alle $N$ möglichen Werte der Zufallsvariablen $X$ und deren exakten Wahrscheinlichkeiten $p_i$ kennt:$$\mu=\sum\limits_{i=1}^Nx_i\cdot p_i$$

Bei empirischen Messungen hat man es jedoch immer mit Stichproben zu tun. Von den $N$ möglichen Werten kennt man also nur einen Teil $n<N$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_i$ für die Werte $x_i$ sind auch nicht exakt bekannt. In diesen Fällen kann man den Erwartungswert $\mu$ der Zufallsvariablen $X$ durch den Mittelwert der bekannten Werte $x_i$ annähern:$$\overline x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$

Der Mittelwert $\overline x$ wird gegenüber dem exakten Erwartungswert $\mu$ eine Abweichung haben. Wenn wir nun in der Formel für die Varianz $V(X)$ den Erwartungswert $\mu$ durch den Mittelwert $\overline x$ als Näherung ersetzen, haben wir in jedem Summanden $(x_i-\overline x)^2$ einen zusätzlichen Fehler gegenüber den Summanden $(x_i-\mu)^2$. Es zeigt sich, dass dieser Fehler dadurch kompensiert werden kann, dass man in der Formel für die Varianz nicht durch $n$, sondern durch $(n-1)$ dividiert:$$V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2$$

Man sagt, dass durch diese Korrektur die empirische Stichprobenvarianz "erwartungstreu" wird.