Question

Was heißt R^2 → R^2 oder R^2 → R^3?

Bei den Aufgaben, welche ich hier für die Klausurvorbereitung Rechne, stoße ich oft auf so eine Schreibweise.

Hat das eine Bedeutung, welche ich wissen sollte? Mir ist aufgefallen, das der Exponent vom ersten R die Anzahl der Spalten ist und der Exponent vom zweiten R gibt die Anzahl der Zeilen angibt.

Hier zwei Beispiele:

\( \psi: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 0 \\ 4 & 6 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot \vec{x} \)

\( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{v} \mapsto\left(\begin{array}{cc}1 & e \\ -b & 1\end{array}\right) \cdot \vec{v} \)

Answer 1

\( \psi: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 0 \\ 4 & 6 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot \vec{x} \)

\(\psi\) ist eine Funktion mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}^4\) und Wertemenge \(\mathbb{R}^3\).

Man kann zu jedem \(\vec{x}\) aus der Definitionsmenge den Funktionswert mittels

        \(\begin{pmatrix}2 & 1 & 4 & 0 \\ 4 & 6 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \vec{x}\)

berechnen.

das der Exponent vom ersten R die Anzahl der Spalten ist

Ansonsten könnte die Matrix nicht mit Vektoren aus der Definitionsmenge multipliziert werden.

der Exponent vom zweiten R gibt die Anzahl der Zeilen angibt.

Ansonsten würde das Ergebnis der Matrix-Vektor-Multiplikation nicht in der Wertemenge liegen.

Answer 2

Aloha :)

Deine Beobachtung ist korrekt:

Jede lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) kann durch eine \(m\times n\)-Matrix beschrieben werden.

Jede \(m\times n\)-Matrix stellt eine lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) dar.

Ich habe mir früher gemerkt, dass ein Vektor oben in eine Matrix reinfällt und links an der Seite rausfällt. Daher muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zeilenzahl des Eingangsvektors übereinstimmen. Der Ausgangsvektor hat dann so viele Komponenten wie die Matrix Zeilen hat.