Absolute Extremwerte mit cos-Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die absoluten Extremwerte (Maximum und Minimum) der Funktion

\( f(x, y)=\sin x+\sin y+\sin (x+y) \)

auf dem Bereich

\( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe den Gradienten und auch die Hesse-Matrix berechnet, jedoch verstehe ich leider nicht, wie

man bei den kritischen Punkten auf P(pi/3,pi/3) kommt.

Ich weiss anhand der Gradienten, dass:

cos(x) = cos(y) , wenn man pi/3 für x und y einsetzt, geht das gut auf mit dem Gradienten, jedoch komme ich mathematisch nicht auf die Lösung.

Könnte mir das jemand erklären?

Answer 1

Aloha :)

Der Gradient muss im Extremum verschwinden:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,y)=\binom{\cos x+\cos(x+y)}{\cos y+\cos(x+y)}$$Das heißt:$$\left.\begin{array}{c}\cos(x)+\cos(x+y)=0\implies\cos(x)=-\cos(x+y)\\\cos(y)+\cos(x+y)=0\implies\cos(y)=-\cos(x+y)\end{array}\right\}\implies$$$$\cos(x)=-\cos(x+y)=\cos(y)$$Weil nach Voraussetzung \(x,y\in[0;\pi/2]\) gelten soll, folgt daraus zunächst \(x=y\) und daraus erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für \(x\):

$$0\stackrel!=\cos x+\cos(2x)=\cos x+\cos^2x-\sin^2x=\cos x+\cos^2x-(1-\cos^2x)$$$$\phantom{0}=\cos x+2\cos^2x-1=2\left(\cos^2x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\right)$$Die pq-Formel liefert:$$\cos x=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{-1\pm3}{4}$$Also haben wir 2 Kandidaten:

$$x=\arccos\left(-1\right)=\pi\not\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\quad;\quad x=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

Als Kandidaten für ein lokales Extremum haben wir also den Punkt \((x;y)=\left(\frac{\pi}{3}\,;\;\frac{\pi}{3}\right)\).

Jetzt geht die Arbeit aber erst los. Du musst zeigen, ob es sich bei diesem kritischen Punkt wirklich um ein Extremum handelt. Dann musst du Ränder der Funktion auf globale Extrema untersuchen, also zumindes die beiden Spezialfälle$$x=0\quad;\quad y\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$$$x=\frac{\pi}{2}\quad;\quad y\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$Für die beiden anderen Fälle (\(x\) und \(y\) vertauscht) kannst du dich dann auf die Symmetrie der Funktion berufen.