A–priori–Fehlerabschätzung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x² − 2 die A–priori–Fehlerabschätzung.

Problem/Ansatz:

Wie geht man da vor. Das ist eine alte Klausuraufgabe, die ich zur klausurvorbereitung versuche zu lösen. Kann jemand helfen ohne die Lösung direkt anzugeben ?

Danke für jede Antwort!

Comments

"a-priori-Fehlerabschätzung für eine Funktion"

Diesen Begriff habe ich noch nie gehört. Wie wäre der definiert? Oder sollte es vielleicht um ein numerisches Verfahren gehen? Welche?

Gruß

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Fixpunktiteration?

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Also im Skript steht folgendes:

Die a priori fehlerabschätzung: |x_k–z| ≤ $\frac{2m}{M}$ * q^{2^k} , k∈IN,

Wobei x_k    die Newton Iterierte ist, welche gegen die Nullstelle z aus dem Intervall [a, b] konvergiert_.

Außerdem sind  m:= min |f‘(x)| > 0 und M:= max |f‘‘(x)|  für a ≤ x ≤ b  Schranken für erste (nach unten) und zweite Ableitung (nach oben).

Und q:= $\frac{M}{2m}$*ρ < 1 , wobei ρ > 0 gewählt ist.

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Hallo

da die Frage wie im 1. post gestellt keine ist, sondern es um die Nullstelle der funktion geht, post bitte die Originalaufgabe,

Gruß lul

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Hallo,

ich weiß leider nicht, was Du meinst. Das ist die originale Aufgabe...

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stand wirklich in einer Klausur der Satz ; "Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x2 − 2 die A–priori–Fehlerabschätzung"

oder war es ein Satz innerhalb einer  längeren Aufgabe mit zusätzlichem Text?

so is das doch sehr eigenartig. Kein Wort von Newton , oder einem anderen Verfahren?

lul

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Achsoo, entschuldige. Als Überschrift stand neben der Aufgabe „Newton eindimensional“.

Aber sonst ist die Aufgabe tatsächlich genauso gestellt.

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Hallo,

Dein Auszug aus dem Skript ist unvollständig. Es muss eine Anforderung an das $\rho$ gestellt sein? Wie steht es mit der Existenz einer Nullstelle z? Wird die vorausgesetzt?

Gruß

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Hallo,

Zitat: Es sei $\rho$ > 0 so gewählt, dass q:= $\frac{M}{2m}$* $\rho$ < 1, K_$\rho$ := { x∈ ℝ:|x-z| ≤ρ}⊂[a,b].

Dann sind für jeden Startpunkt x₀ ∈ K_$\rho$ (z) die Newton Iterierten

x_k ∈ K_$\rho$ (z) definiert und konvergieren gegen die Nullstelle z.“

Answer 1

Hallo,

dann sieht das für mich so aus: f hat zwei Nullstellen, wir kümmern unsmal um $z=\sqrt{2} \approx 1.4$. Wir versuchen es mit $D:=[a,b]=[1,2]$ und stellen fest:

$f'(x)=2x$ und $|f'(x)|\geq 2$ auf D, also $m=2$.

$f''(x)=2$, als $M=2$

Wir wählen $\rho=0.5$, dann ist

$$q=\frac{M}{2m} \rho=0.25<1 \text{ und } K_{\rho}=[\sqrt{2}-\rho,\sqrt{2}+ \rho] \sube D=[1,2]$$.

Damit ist alles in der Formel für die Fehlerabschätzung bestimmt.

Gruß

Comments

Wie hast Du $\rho=0.5$ gewählt? Was muss man beachten wenn man $\rho$ wählt?

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Man muss die von Dir angegebenen Bedingungen einhalten ($q<1, K_{\rho} \sube [a,b]$), ansonsten willlkürlich. Im Prinzip kann man ja $\rho$ beliebig klein machen. Das bedeutet, dass man sehr nah bei der gesuchten Nullstelle startet. Dann ist es auch plausibel, dass das Verfahren funktioniert.

Gruß