A–priori–Fehlerabschätzung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x^2 − 2 die A–priori–Fehlerabschätzung.

Problem/Ansatz:

Wie geht man da vor. Das ist eine alte Klausuraufgabe, die ich zur klausurvorbereitung versuche zu lösen. Kann jemand helfen ohne die Lösung direkt anzugeben ?

Danke für jede Antwort!

Comments

"a-priori-Fehlerabschätzung für eine Funktion"

Diesen Begriff habe ich noch nie gehört. Wie wäre der definiert? Oder sollte es vielleicht um ein numerisches Verfahren gehen? Welche?

Gruß

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Fixpunktiteration?

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Also im Skript steht folgendes:

Die a priori fehlerabschätzung: |x_k–z| ≤ \( \frac{2m}{M} \) * q^{2^k} , k∈IN,

Wobei x_k    die Newton Iterierte ist, welche gegen die Nullstelle z aus dem Intervall [a, b] konvergiert_.

Außerdem sind  m:= min |f‘(x)| > 0 und M:= max |f‘‘(x)|  für a ≤ x ≤ b  Schranken für erste (nach unten) und zweite Ableitung (nach oben).

Und q:= \( \frac{M}{2m} \)*ρ < 1 , wobei ρ > 0 gewählt ist.

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Hallo

da die Frage wie im 1. post gestellt keine ist, sondern es um die Nullstelle der funktion geht, post bitte die Originalaufgabe,

Gruß lul

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Hallo,

ich weiß leider nicht, was Du meinst. Das ist die originale Aufgabe...

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stand wirklich in einer Klausur der Satz ; "Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x2 − 2 die A–priori–Fehlerabschätzung"

oder war es ein Satz innerhalb einer  längeren Aufgabe mit zusätzlichem Text?

so is das doch sehr eigenartig. Kein Wort von Newton , oder einem anderen Verfahren?

lul

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Achsoo, entschuldige. Als Überschrift stand neben der Aufgabe „Newton eindimensional“.

Aber sonst ist die Aufgabe tatsächlich genauso gestellt.

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Hallo,

Dein Auszug aus dem Skript ist unvollständig. Es muss eine Anforderung an das \(\rho\) gestellt sein? Wie steht es mit der Existenz einer Nullstelle z? Wird die vorausgesetzt?

Gruß

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Hallo,

Zitat: Es sei \(\rho\) > 0 so gewählt, dass q:= \( \frac{M}{2m} \)* \(\rho\) < 1, K_\(\rho\) := { x∈ ℝ:|x-z| ≤ρ}⊂[a,b].

Dann sind für jeden Startpunkt x₀ ∈ K_\(\rho\) (z) die Newton Iterierten

x_k ∈ K_\(\rho\) (z) definiert und konvergieren gegen die Nullstelle z.“

Answer 1

Hallo,

dann sieht das für mich so aus: f hat zwei Nullstellen, wir kümmern unsmal um \(z=\sqrt{2} \approx 1.4\). Wir versuchen es mit \(D:=[a,b]=[1,2]\) und stellen fest:

\(f'(x)=2x\) und \(|f'(x)|\geq 2\) auf D, also \(m=2\).

\(f''(x)=2\), als \(M=2\)

Wir wählen \(\rho=0.5\), dann ist

$$q=\frac{M}{2m} \rho=0.25<1 \text{ und } K_{\rho}=[\sqrt{2}-\rho,\sqrt{2}+ \rho] \sube D=[1,2]$$.

Damit ist alles in der Formel für die Fehlerabschätzung bestimmt.

Gruß

Comments

Wie hast Du \(\rho=0.5\) gewählt? Was muss man beachten wenn man \(\rho\) wählt?

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Man muss die von Dir angegebenen Bedingungen einhalten (\(q<1, K_{\rho} \sube [a,b]\)), ansonsten willlkürlich. Im Prinzip kann man ja \(\rho\) beliebig klein machen. Das bedeutet, dass man sehr nah bei der gesuchten Nullstelle startet. Dann ist es auch plausibel, dass das Verfahren funktioniert.

Gruß