Zeigen das ein DGL exakt ist.

Question

Aufgabe: 0 = x + 3y² * y'

Problem/Ansatz: Ich muss bei dieser Differenzialgleichung zeigen, dass die DGL exakt ist und die Lösung mit dem AWP

y(0) = 2 .

Ich habe beim bestimmen eines DGLs , ob dieses exakt ist, immer diese Form genutzt : z.B. : y' = - (y-3) / (x+1)  und dann aufgeteilt zu g(x,y) = y-3 und h(x,y) = x+1. Dann bekommt man für g nach y ableiten 1  und h nach x auch 1 und das DGL ist exakt. Bei dieser Aufgabe wäre das dann y' = - x / (3y²) und das wäre nicht exakt.

Gibt es eine andere Möglichkeit um zu überprüfen ob ein DGL exakt ist ?

Über eine Antwort würde ich mich freuen

Mit freundlichen Grüßen

Nikolas Michel

Answer 1

Hallo,

Ich muss bei dieser Differenzialgleichung zeigen, dass die DGL exakt ist

0 = x + 3y^2 * y' 

Setze y'=dy/dx

0 = x + 3y^2 * dy/dx |*dx

0 = x dx + 3y^2  dy

P= x ; Q= 3y^2

P_y= 0  ; Q_x=0

->P_y= Q_x --->Integrabilitätsbedingung ----->exakte DGL

Answer 2

Hallo

was du dir gemerkt hast ist unüblich, Üblich ist die Form p(x,y)+q(x,y)*y'=0

oder p(x,y)dx+q(x,y)dy=0

exakt ist die Dgl wenn ∂q/∂x=∂p/∂y

bei dir q=3y^2, ∂q/∂x=0, p=x, ∂p/∂y=0

auch wie du es machst sind ja beide Ableitungen 0 also gleich. Was hattest du denn?

Lösung finden du dann ? am einfachsten mit Trennung der Variablen.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort . Ja die werden ja beide Null, dass hab ich auch gerade bemerkt ich hab beim probieren g nach x und h nach y abgeleitet. Da hab ich was vertauscht.

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Deine Lösung zum Anfangswert ist richtig. in einer HA oder Klausur solltest du in a) direkt x^2/2+c(y) einsetzen nicht nur x^2/2 schreiben.

(ich leite immer zur Probe nochmal ab, und setze in die Dgl ein, das vermeidet dumme Leichtsinns oder Vorzeichenfehler.)

Gruß lul