Zeigen Sie: Es existieren M>0 und a Element R

Question

Hallo, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe einen Tipp geben bzw. mir eventuell helfen.

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) eine zweimal differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft \( f(x) f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \)
Zeigen Sie: Es existieren \( M>0 \) und \( a \in \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=M e^{a x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Hinweis: Betrachten Sie \( g(x):=\log (f(x)) \).

Answer 1

g ' (x) =  f ' (x) / f(x)   (Kettenregel ). Dann mit Quotientenregel:

g ' ' (x)  = ( f(x)*f ' '(x) - f ' (x)*f ' (x) ) /  f^2(x)  = 0   (nach Voraussetzung)

Also ist g ' (x) konstant . Etwa g ' (x) = C für alle x∈ℝ.

==>     g(x)  =  C*x + D  mit Konstanten C und D.

==>   log(f(x) =  Cx+D

==>   f(x) = e^(Cx+D) = e^(Cx) * e^D

Also ist e^D das gesuchte M und C das a.  M>0 weil alle Werte der Exponetialfunktion

positiv sind.