wie bestimmt man die Extremstellen von einer Funktion in Abhängigkeit vom Parameter?

Question

hallo,

wie bestimmt man die Extremstellen von einer Funktion in Abhängigkeit vom Parameter?

Beispiel: \(f_t(x)=x^2+t\cdot x-4x+1\)

Answer 1

Hallo, es ist nur ein Parameter \(t\in \mathbb{R}\) mit dabei, welcher beliebige Werte annimmt, dich aber nicht weiter beeindrucken soll. Das ändert rein gar nichts am Ablauf, um Extremstellen zu berechnen. Du rechnest halt nicht mehr nur mit ,,reinen'' Zahlen, sondern jetzt auch mit Buchstaben. Also, keine Scheu und rechnen. :-)

Answer 2

f ( x ) = x^2 + tx - 4x + 1
f ´( x ) = 2x + t - 4

Stelle mit waagerechter Tangente
2x + t - 4 = 0
2x = 4 - t
x = ( 4 - t ) / 2

Die Funktion f ist eine nach oben geöffnete
Parabel, also Tiefpunkt.
oder rechnerisch
f ´´ ( x ) = 2 ( Tiefpunkt )