f∗ : W∗ → V∗ durch f∗(l)(v) =l(f(v)) für v ∈ V .
Das bedeutet ja ausführlicher: Wenn l ∈ W* =Hom(W;K) dann ist l eine lineare Abb. bzw.
ein Homomorphismus von W nach K, manche nennen das auch eine Linearform.
Um diese eindeutig zu bestimmen, muss man für jedes w∈W angeben ist, was l(w) ist.
Entsprechend bei den g∈ V* muss für jedes v ∈ V angegeben sein, was g(v) ist.
Bei f* wird ja nun jedem solchen l ( was durch die w∈W bestimmt ist) ein
g zugeordnet und dieses g ist dann f*(l), und dieses f*(l) muss durch Angabe
der Bilder für jedes v ∈ V bestimmt werden. Das ist durch f∗(l)(v) =l(f(v))
geschehen. In Worten f*(l) hat an der Stelle v, das gleiche Bild wie l an der Stelle f(v).
Zur Linearität musst du ja zeigen: Für alle l,k ∈ W* gilt f*(l+k) = f*(l) + f*(k) .
Es ist also die Gleichheit zweier Abbildungen aus V* zu zeigen. Also muss die
Übereinstimmung der Bilder für alle v ∈ V gezeigt werden. Sei also v ∈ V.
==> f*(l+k) (v) Das ist nach Def. von f*
= (l+k)(f(v)) Nach Def. der Summe von Abb'ne ist das
= l(f(v)) + k(f(v)) Das ist jetzt die Addition in K.
Wieder Def. von f* gibt
= f*(l)(v) + f*(k)(v). Und die Def. der Summe von Abb'en gibt
= (f*(l) + f*(k)) (v) .
Also stimmen die Bilder von f*(l+k) und von f*(l) + f*(k) für alle v ∈ V überein. q.e.d
So ähnlich zeigst du auch für alle x∈K f*( x·l) = x·f*(l) .
