Aloha :)
a) Zum Aufstellen der Abbildungsmatrix \(M_B^B(\phi)\) überlegen wir uns, wie die einzelnen Basis-"Vektoren" aus \(B\) abgebildet werden:$$p(1)=x\cdot1=x\quad;\quad p(x)=x\cdot x=x^2\quad;\quad p(x^2)=x\cdot x^2=x^3$$In Vektorschreibweise heißt das:
$$\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Daraus lesen wir die Abbildungsmatrix ab:
$$M_B^B(\phi)=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0& 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
b) Wir wissen, wie die Vektoren aus \(C\) mit den Basisvektoren aus \(B\) dargestellt werden:$$\begin{pmatrix}1\\1+x\\(1+x)^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=1=\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1\\1+x\\(1+x)^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=1+x=\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1\\1+x\\(1+x)^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=1+2x+x^2=\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$und kennen daher die Basiswechselmatrix von \(C\) nach \(B\):$$\operatorname{id}_B^C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Nun ist leider deine Schreibweise nicht ganz eindeutig. Ist die Matrix \(M_B^C(\phi)\) oder die Matrix \(M_C^B(\phi)\) gesucht?
Im ersten Fall sollen die Eingangsvektoren in die Abbildung \(\phi\) nicht mehr bezüglich der Basis \(B\), sondern bezüglich der Basis \(C\) vorliegen:$$M_B^C(\phi)=M_B^B(\phi)\cdot\operatorname{id}_B^C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0& 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\0& 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Im zweiten Fall sollen die Ausgangsvektoren der Abbildung \(\phi\) bezüglich der Basis \(C\) vorliegen:$$M_C^B(\phi)=\operatorname{id}_C^B\cdot M_B^B(\phi)$$Da wir bei den Ausgangsvektoren eine Komponente mehr haben, müssen wir die Basiswechselmatrix von oben erweitern:
$$\operatorname{id}_B^C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\implies\operatorname{id}_C^B=(\operatorname{id}_B^C)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & -1 \\0 & 1 & -2 & 3 \\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$und erhalten als Abbildungsmatrix in die Basis \(C\):
$$M_C^B(\phi)=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & -1 \\0 & 1 & -2 & 3 \\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0& 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\1 & -2 & 3\\0& 1 & -3\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
