Orthonomierungverfahren im Vektorraum aller Polynome

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum aller Polynome x(t)=a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀ (t∈[-1,1]) mit reelen Koeffizienten a_k und dem Skalaprodukt
(x(t), y(t)):= \( \int\limits_{-1}^{1} \) x(t)*y(t) dt wende man das Schmidtsche Orthonomierungsverfahren auf die Basis
b₁(t)=1, b₂(t)=t, b₃(t)=t², b₄(t)=t³ an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie ich das Orthonormierungsverfahren auf diese Aufgabe anwenden kann

Answer 1

Mit den Bezeichnungen von

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

hast du also w1(t)=1, w2(t)=t, w3(t)=t^2, w4(t)=t^3

\(  ||w_1|| =\sqrt{ \int \limits_{-1}^1 1*1 dt }=\sqrt{2} \) also

\(  v_1 = \frac{1}{||w_1||} \cdot w_1 =\frac{\sqrt{2}}{2}  \)

Dann v_2 ' bilden , also

\(  v_2'  =w_2 - (v_1,w_2) \cdot v_1 \)

und \(   (v_1,w_2) =    \int \limits_{-1}^1 \frac{\sqrt{2}}{2}  \cdot t dt =0  \)

also \(  v_2'  =w_2  \). Zum Normieren ||v₂'|| bestimmen:

\(  ||v_2'|| =\sqrt{ \int \limits_{-1}^1 t*t dt }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Also \(  ||v_2'|| =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot t \)  etc.