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Aufgabe:

Absolute Konvergenz einer Reihe beweise

Problem/Ansatz:

ich wiederhole gerade schonmal für die Klausur und bin bei der Aufgabe nochmal stutzig geworden.

n=0(1)3nx4n(5n)! \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{3 n} x^{4 n}}{(5 n) !}


Kann mir jemand einen kurzen Beweis aufzeigen ?

Liebe Grüße

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Für die absolute Konvergenz kannst du den Faktor -1 ignorieren (bzw. du bildest von jedem Summanden den Betrag).

Wie wäre es denn mit dem Quotientenkriterium?

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Summe:Sn=0an;an(1)3nx4n(5n)!S\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}bietet sich das Quotientenkriterium an. Wir müssen also zeigen, dass der Grenzwert des folgenden Quotienten kleiner als 11 ist:

an+1an=(1)3(n+1)x4(n+1)(5(n+1))!(1)3nx4n(5n)!=(1)3(n+1)x4(n+1)(5(n+1))!(5n)!(1)3nx4n=(5n)!(5n+5)!(1)3n+3x4n+4(1)3nx4n\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{(-1)^{3(n+1)}x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}}{\frac{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}}\right|=\left|\frac{(-1)^{3(n+1)}x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}\,\frac{(5n)!}{(-1)^{3n}x^{4n}}\right|=\left|\frac{(5n)!}{(5n+5)!}\,\frac{(-1)^{3n+3}x^{4n+4}}{(-1)^{3n}x^{4n}}\right|an+1an=(1)3x4(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\left|\frac{(-1)^3x^4}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}\right|an+1an=x41(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)<x41(5n)50\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=x^4\left|\frac{1}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}\right|<x^4\left|\frac{1}{(5n)^5}\right|\to0Der Grenzwert des Quotienten ist also für alle xx kleiner als 11, daher konvergiert die Summe SS für alle xx.

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