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Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Summe:S : =n=0∑∞an;an : =(5n)!(−1)3nx4nbietet sich das Quotientenkriterium an. Wir müssen also zeigen, dass der Grenzwert des folgenden Quotienten kleiner als 1 ist:
∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣(5n)!(−1)3nx4n(5(n+1))!(−1)3(n+1)x4(n+1)∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣(5(n+1))!(−1)3(n+1)x4(n+1)(−1)3nx4n(5n)!∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣(5n+5)!(5n)!(−1)3nx4n(−1)3n+3x4n+4∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)(−1)3x4∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=x4∣∣∣∣∣(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)1∣∣∣∣∣<x4∣∣∣∣∣(5n)51∣∣∣∣∣→0Der Grenzwert des Quotienten ist also für alle x kleiner als 1, daher konvergiert die Summe S für alle x.