Was ist die "Basis von U = lin (v1,v2,v3)"/"Dimension von U"?

Question

ich habe 3 Vektoren im R^3 gegeben.

Was ist dann die "Basis von U = lin (v1,v2,v3)"?

Und was ist die Dimension von "U"

Ich habe bereits herausgefunden, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind (Mit der Determinante). Die Faktoren habe ich auch gefunden.

$$x*v1 + y*v2 + z*v3 =0$$

$$x= -2*z$$

$$y= 0$$

$$z=z$$

Comments

Antwort gelöscht wegen falscher Angaben in der Aufgabenstellung.

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Hi Wolfgang,

stimmt... die 3 Vektoren sind abhängig, da det = 0.

Wie kommt du auf die Dimension "1"?

Das sind meine gegeben Vektoren:

\( v1=\begin{pmatrix} a\\1\\2 \end{pmatrix} v2=\begin{pmatrix} 5\\6\\b \end{pmatrix}v3=\begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} \)

Mein a= 1,5 und b=12

Das habe ich mit dem Gaus Algo. gemacht.

Dann habe ich a und b eingesetzt und x,y, und z berechnet.

Dann habe ich die det berechnet. Welche = 0 ist. ---> Linear Abhängig

\( -2z*\begin{pmatrix} a\\1\\2 \end{pmatrix} +0*\begin{pmatrix} 5\\6\\b \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Und wie genau komme ich auf U = lin (v1,v2,v3). Also die Dimension?

Ist U die Dimension?

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Was wäre dieser Vektor?

Ist das dann $$[ -2*z , 0 , z ] $$ ?

Kann ja nicht sein, da es z.b kein x gibt für die Gleichung:

$$x*[-2z,0,z]=[(1,5),1,2] $$

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Hallo Wolfgang, was meinst du mit falschen angaben?

Meine Berechnungen von a und b?

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Das verstehe ich leider nicht.

Ich setze jetzt mal A UND B ein:

Wie du sieht ist die Det=0 für a = 1,5 UND b=12.

Oder übersehe ich da was?

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Setze mal b= 12 ein und lass a stehen

oder a=3/2 und lass b stehen.

a oder b umfasst auch beides

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Stimmt....

Ist auch 0.

Ist die Determinante \( =0, \) so sind die Vektoren linear abhängig. Ist sie \( \neq 0, \) so sind die Vektoren linear unabhängig.

Das heißt, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind.

Also ist die Basis = (v1,v2), da man mit v1 auch v3 darstellen kann.

Soweit habe ich es verstanden. Und da die Basis zwei Vektoren enthält, ist

die Dimension 2?

Ist das richtig?

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Ja, das ist richtig.

Ich schreibe dann mal meinen Kommentar als Antwort.

Answer 1

Hallo lerti,

Derterminante = 2·a·(12 - b) + 3·b - 36 = 0  gilt nur für a = 3/2 oder b = 12
Dann ist die gesuchte Dimension 2, weil man jeweils nur 2 linear unabhängige Vektoren findet.

Da für b=12        v₂ Vielfaches von v₃ ist,   ist { v1 , v2}  eine Basis von lin (v1,v2,v3)

Für a = 3/2          ist { v₂ , v₃}  eine Basis von lin (v1,v2,v3) #

Ansonsten sind die Vektoren linear unabhängig →  gesuchte Dimension = 3

und { v1 , v2, v3} ist eine Basis.

# Nachtrag:

Der Ansatz α·[3/2, 1, 2]  + β·[5, 6, b] + γ·[3, 2, 4] = r·[5, 6, b] + s·[3, 2, 4]

       ergibt  r = γ   ∧  s = (α + 2·β)/2   für beliebige  α, β, γ ∈ℝ

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

danke für deine Hilfe zu dieser späten stunde ^^

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Beim nächstenmal bitte gleich die Vektoren, vor allem, wenn sie Variable enthalten :-)