Berechnung des Grenzwerts von lim(x→∞) (sqrt[a](x)-sqrt[b](x)) mit a,b aus N

Question

Aufgabe: Berechnung des Grenzwerts von \( lim x→∞) (\sqrt[a]{x}-\sqrt[b]{x})\) mit a,b aus N

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht wie man das lösen soll

Ich denke nicht dass man den Term weiter vereinfachen kann und wenn ich den limes aufteile in lim(x→∞) (sqrt[a](x)) - lim(x→∞) (sqrt[b](x)) weiß ich auch nicht was mit das helfen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Berechne den folgenden Grenzwert für \sqrt[a]{x}- \sqrt[b]{x}) für a,b ∈ N.

Stichworte: grenzwert,analysis,wurzeln

Aufgabe:

Berechne den folgenden Grenzwert für lim_x→unendlich ( \( \sqrt[a]{x} \) - \( \sqrt[b]{x} \) ) für a,b ∈ N.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen kann Ich komme leider nicht weiter.

Answer 1

Hallo,

wir betrachten den Fall \(a<b\), dann ist

$$f(x)=x^{1/a} \left(1-x^{-r} \right) \text{  mit }r:=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0$$

Wenn nun \(x>2^{1/r}\) ist, dann folgt:

$$x^r>2 \Rightarrow x^{-r}<\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)>x^{1/a} \frac{1}{2} \to \infty$$

Gruß

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Vielen Dank der Tipp war sehr Hilfreich :)

Answer 2

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}} \)
a sei 1 und \( b \) sei 2
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x-x^{\frac{1}{2}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x-x^{\frac{1}{2}}\right) \cdot\left(x+x^{\frac{1}{2}}\right)}{x+x^{\frac{1}{2}}}= \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x}{x+\sqrt{x}} \)
\( \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-1}{1+\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}} \rightarrow \)
\( \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 4 \cdot \sqrt{x} \rightarrow \infty \)

mfG

Moliets

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Danke für deine schnelle Antwort! Aber muss man das nicht allgemeiner berechnen, also ohne vorgegebene Zahlen?

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Probiere es mal, mit Buchstaben zu berechnen.

mfG

Moliets