Diese Länge ist doch die Wurzel aus dem Vektor von PS
das ist richtig. Nun ist die Richtung, in die der Schatten verläuft, mit $$\vec d=\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$$gegeben. Das ist der blaue Pfeil in der Zeichnung.
Damit man diesen Pfeil auf eine Länge von 1,5 bringen kann, muss man ihn zunächst normieren, d.h auf die Länge 1 bringen, bzw. konkret durch seine eigene Länge teilen. Diese Länge ist der Betrag des Vektors \(\vec d\). Betrag wird mit \(||\) geschrieben$$|\vec d| = \left|\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}\right| = \sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$$Also ist der Vektor \(\vec d^*\) mit der Länge 1 in Richtung des Schattens:$$\vec d^* = \frac 13\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix} \quad \quad |\vec d^*| = 1$$Und damit man auf die Länge von 1,5 kommt, so multipliziert man ihn eben mit 1,5 und hat dann den Vektor \(\vec {PS}\):$$\vec{PS} = 1,5\,\vec d^* = 1,5 \cdot \frac13\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$$Also das, was ich hier blau markiert markiert habe ...$$S = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \pm \frac{1,5}{\color{blue}\left| \begin{pmatrix}2\\ -2\\ -1\end{pmatrix} \right|}\begin{pmatrix}2\\ -2\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \pm {\color{red}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -0,5\end{pmatrix}}$$... ist \(\color{blue}|\vec d|\) und das rot markierte ist \(\color{red}1,5\,\vec d^*=\vec{PS}\).
