Aufgabe:
Wie kommt es, dass für das (2n+2)-te Restglied des Taylorpolynoms von arctan(x) genau das rauskommt?
Problem/Ansatz:
\( R_{2 n+2}(x):=\arctan x-T_{2 n+1}(x)=\left.\frac{1}{(2 n+2) !} \cdot D^{2 n+2} \arctan x\right|_{x=\xi} \cdot x^{2 n+2} \)
Ich muss diese zusammengefassten Schritte, ausführlich zeigen können im Rahmen meiner BA.
ich verstehe nicht, wieso der Fakultätsterm im Nenner z.B. oder der Ableitungsausdruck 2n+2 ergibt.
Aber die normale Restgliedformel für das Taylorpolynom lautet doch:
\( R_{n} f(x ; a)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \)
und das n muss ich doch ersetzen durch, 2n+2 , sodass ich doch im Nenner ein (2n+3)!, im Zähler im Exponenten die (2n+3)-te Ableitung und bei (x-a) im Exponenten auch 2n+3 habe oder nicht?
demnach müsste doch, wenn:
\( \left.D^{k} \arctan x\right|_{x=0}=\frac{(k-1) !}{2}\left((-i)^{k-1}+i^{k-1}\right) \) (was auch stimmt)
und ich für k=2n+2 einsetze dann:
\( \left.D^{2n+2} \arctan x\right|_{x=0}=\frac{((2n+2)-1) !}{2}\left((-i)^{(2n+2)-1}+i^{(2n+2)-1}\right) \)
\( \left.D^{2n+2} \arctan x\right|_{x=0}=\frac{((2n+1) !}{2}\left((-i)^{(2n+1)}+i^{(2n+1)}\right) \)
rauskommen. Man sieht doch schon, dass oben ein (2n+1)! steht bei der Ableitung und im Nenner der Restgliedformel steht doch ein (2n+3)!, wie kann dann in der Lösung ein (2n+2)! im Nenner stehen und wie kommt es dazu dass er die (2n+1)-te Ableitung da stehen hat, wenn im Restglied doch um n+1 höher abgeleitet wird?
Hoffe ihr versteht was ich meine, danke schonmal im Voraus!
