Restglied des Taylorpolynoms: 2 Variablen

Question

Aufgabe:

Schätze das Restglied mit 0=<tetha<=1 ab, das bei der Approximation von f(x,y) durch ein Taylorpolynom ersten Grades um den Punkt (0,0) entsteht. Die Abschätzung soll folgende Form haben:

Text erkannt:

\( \left|R_{2}(x, y, h, k)\right| \leq R_{2}(x, y)=c\left\|(x, y)^{\top}\right\|_{2}^{2} \)

Problem/Ansatz:

Das Restglied habe ich ohne x^2+y^2<=0 ausgerechnet; ich bin mir nicht sicher, wie ich die implementieren soll. Hier ist mein Rechenweg:

Text erkannt:

(b)
\( \begin{array}{l} f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}, x^{2}+y^{2} \leq \frac{1}{2} \quad R_{p+1}=\frac{1}{(p+1) !} \sum \limits_{k=0}^{p+1}\left(\begin{array}{c} p+1 \\ k \end{array}\right) \frac{\partial^{p+1} f(\xi+\theta k)}{\partial x^{k} \partial_{y} p^{p+1-k}} \cdot x^{k} \cdot y^{p+1-k} \\ R_{2}((0,0),(x+y))=\frac{1}{2 !} \sum \limits_{k=0}^{2}\left(\begin{array}{l} 2 \\ k \end{array} \frac{\partial^{2} f((0,0), \theta(x, y))}{\partial x^{k} \partial y^{2}-k} \cdot x^{k} \cdot y^{2-k}\right. \\ \partial x f=\frac{-2 x \cdot 1}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{2}} \\ \partial_{x x} f=\frac{-2 \cdot\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{2}+2 x \cdot 2\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{4}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{k} \partial y^{2-k}}=\left.\frac{8 x y}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{3}}\right|_{\substack{x \rightarrow \theta x \\ y \rightarrow \theta y}}=\frac{8 \theta x y}{\left(\theta^{2} x^{2}+\theta^{2} y^{2}-1\right)^{3}} \\ \partial_{x y} f=\frac{0 \cdot\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{2}+2 x \cdot 2\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{4}} \\ =\frac{8 x y\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{4}}=\frac{8 x y}{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{3}} \\ \left|R_{2}\right|=\frac{4 \theta x y}{\left(\theta^{2} x^{2}+\theta^{2} y^{2}-1\right)^{3}}\left[\left(\frac{2}{6}\right)^{1} x^{0} y^{2}+(2 / 1)^{2} x^{4} y^{1}+\left(\frac{2}{2}\right)^{2} x^{2} y^{0}\right] \\ =\left|\frac{4 \theta x y}{\left(\theta^{2} x^{2}+\theta^{2} y^{2}-1\right)^{3}}\left(y^{2}+2 x y+2 x^{2}\right)\right| \\ \end{array} \)
Extrema: for \( x, y=\frac{1}{2} \) and \( \theta=0: \frac{0}{(-1)^{3}}=0 \)

Vielen Dank für Eure Tipps

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal zur Abkürzung \(r^2=x^2+y^2\). Deine Formel für die gemischte Ableitung habe ich auch, also

$$\partial_{x,y}f(x,y)=8xy(r^2-1)^{-3}$$

Diese Formel gilt aber nicht für alle Ableitungen zweiter Ordnung. Ich habe (wie Du?)

$$\partial_{x,x}f(x,y)=(6x^2-2y^2+2)(r^2-1)^{-3}$$

Mit Vertauschung von x und y erhält man die entsprechende Formel für die die zweimalige Ableitung nach y.

Für das Taylor-Restglied sind diese Ableitungen für \((\theta x,\theta y)\) abzuschätzen, wobei \(\theta \in (0,1)\) und \(r^2 \leq 0.5\) ist. Das mache ich einfach und grob:

Zunächst ist \(|1-\theta^2r^2| \geq 0.5\), also liefern die Nenner der partiellen Ableitungen einen Faktor 8. Weiter benutze ich die bekannte Abschätzung \(|x||y| \leq 0.5r^2\) udn erhalte:

$$|\partial_{x,y}f(\theta x, \theta y)|=|8\theta^2 xy(\theta^2 r^2-1)^{-3}| \leq 8\cdot 8\cdot 0.5 \cdot 0.5=16$$

Für den Zähler der anderen Ableitung gilt

$$ 1=2-2 \cdot 0.5 \leq 6x^2-2y^2+2 \leq 6\cdot 0.5+2=5$$

Also

$$|\partial_{x,x}f( \theta x,\theta y)|\leq 5 \cdot 8=40$$

Für das Restglied erhält man damit:

$$|R_2(\theta x,\theta y)| \leq 0.5[40 x^2+2 \cdot 16  |x||y| +40 y^2]\leq 56 r^2$$

(Musst Du mal nachrechnen ;-) )