Darstellung eines Spatproduktes mittels Levi-Civita-Symbol

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie die Darstellung des Spatproduktes mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols εijk um
den folgenden Ausdruck zu berechnen:

$\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}$ · [$\begin{pmatrix} -3\\-1\\-2 \end{pmatrix}$ x $\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$]

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie sich die negativen Zahlen im 2.Vektor auf die Notation auswirkt. Des Weiteren verunsichert mich die 0 in dem 1. Vektor, da der Index soweit ich weiß nur für natürliche Zahlen gilt.

Über jegliche Idee wäre ich sehr sehr dankbar!

Answer 1

Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Was hast du denn für ein Verbrechen begangen, dass du mit so einer Aufgabe bestraft wirst? Der total antisymmetrische Einheitstensor dritter Stufe $\varepsilon_{ijk}$ ist $=1$, wenn die 3 Indizes zyklisch angeordnet sind und $=-1$, wenn die 3 Indizes antizyklisch angeordnet sind. In allen anderen Fällen ist der Wert $=0$.

$$\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{array}{rcl}1 &\text{falls} & i,j,k=1,2,3 &\lor& i,j,k=2,3,1 &\lor& i,j,j=3,1,2\\-1 &\text{falls} & i,j,k=3,2,1 &\lor& i,j,k=2,1,3 &\lor& i,j,j=1,3,2 \\0 &\text{sonst}\end{array}\right.$$

Damit können wir das Spatprodukt wie folgt schreiben:$$\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)=\sum\limits_{i=1}^3a_i\cdot(\vec b\times\vec c)_i=\sum\limits_{i=1}^3a_i\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}b_jc_k$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=a_1\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{1jk}b_jc_k+a_2\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{2jk}b_jc_k+a_3\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{3jk}b_jc_k$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=1\cdot((-1)\cdot3-(-2)\cdot2)+2\cdot((-3)\cdot2-(-1)\cdot1)=-9$$

Comments

Das Verbrechen war es sich für ein Studium zu entscheiden.

Vielen Dank!