Zeigen, dass Gleichungen mindestens eine Lösung in R besitzen

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen mindestens
eine Lösung in R besitzen.

(1) \( \sum\limits_{n=1}^{\1234}{\frac{xⁿ}{n³}} \) =\( \sqrt{2} \)

(2) x⁵5+x³-\( \sqrt{|x+5|} \)-\( \sqrt{|x²+6|} \)=-6

Problem/Ansatz: Wie kann man das zeigen?

Answer 1

Wohl so :

$$\sum \limits_{n=1}^{1234}  {\frac{x^n}{n^3}} = \sqrt{2}$$

Es ist durch $$f(x) = \sum \limits_{n=1}^{1234}  {\frac{x^n}{n^3}} $$

eine für alle x∈ℝ stetige Funktion gegeben.

Und es ist f(0)=0 und f(2) = 2+... sicherlich größer 2, also auch größer √2.

Somit wird jede reelle Zahl zwischen 0 und 2 nach dem

Zwischenwertsatz als Funktionswert vorkommen, insbesondere also auch √2..

Das zweite geht sicher so ähnlich.