Basis des Vektorraumes v1,v2,v3

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren v1=(-1 2 1), v2=(1 1 -4), v3=(2 -3 -3)

1.) Bestimme eine Basis des Vektorraumes v1,v2,v3

2.) Ergänze v1, v2,v3 zu einem Erzeugendensystem

Problem/Ansatz:

wie lautet hier der Rechenweg? Kann jemand die aufgabe vorrechnen ohne Gauß-Algorithmus, da wir diese methode noch nicht behandelt haben. (Am besten mit dem Gleichungssystem) Und kann mir jemand noch die Begriffe basis und erzeugendensystem ganz leicht und unkompliziert (eventuell mit beispielen) erklären? Ich habe zwar im Internet diese begriffe recherchiert, aber ganz verstanden hab ich sie nicht.

Answer 1

Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, die den Raum aufspannen. Ein Beispiel hierfür sind die Vektoren (1, 0)^T und (0, 1)^T, diese sind linear unabhängig. Warum sind diese linear unabhängig? Dafür gucken wir uns die Linearkombination der Vektoren an, die den Null Vektor ergibt: x(1, 0)^T + y(0, 1)^T = 0, kurz (x, y)^T = 0, genau dann, wenn x und y beide 0 sind! (x = 0, y = 0 ist einzige Kombination die Nullvektor ergibt)

1.) Bestimme eine Basis des Vektorraumes v1,v2,v3

- Dazu bestimmen wir, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

- Beispiel: Wären v_1 = (1, 0, 0)^T, v_2 = (0, 1, 0)^T und v_3 = (0, 0, 1)^T, dann wären wir hier schnell fertig, da man den Vektoren ihre lineare Unabhängigkeit direkt ansehen kann.

- Zur Überprüfung der Linearen Unabhängigkeit ohne Gauß müssen wir folgende Überlegung anstellen: x*v_1 + y*v_2 = v_3, d.h. gibt es irgendein x und y, mit dem ich den Vektor v_3 als Linearkombination von v_1 und v_2 schreiben kann. Mit Gleichungen formuliert also:

-x + y = 2 → x = y -2
2x + y = -3 → -0.5y - 3/2
x - 4y = -3 → x = 4y - 3

--> x = -5/3 und y = 1/3

--> (-5/3)*(-1, 2, 1)^T + (1/3)*(1, 1, -4)^T = (2, -3, -3)^T

--> Die Vektoren sind linear abhängig!

- Eine Basis dieses Vektorraumes ist dann durch die Vektoren v_1 und v_2 gegeben!

Comments

Vielen Dank! ich rechne es schnell nach. Und was ist diese hoch T ?

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Das T bedeutet transponiert. Das bedeutet hier, dass es sich im einen Spalten Vektor handelt :)