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Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren v1=(-1 2 1), v2=(1 1 -4), v3=(2 -3 -3)

1.) Bestimme eine Basis des Vektorraumes v1,v2,v3

2.) ErgÀnze v1, v2,v3 zu einem Erzeugendensystem


Problem/Ansatz:

wie lautet hier der Rechenweg? Kann jemand die aufgabe vorrechnen ohne Gauß-Algorithmus, da wir diese methode noch nicht behandelt haben. (Am besten mit dem Gleichungssystem) Und kann mir jemand noch die Begriffe basis und erzeugendensystem ganz leicht und unkompliziert (eventuell mit beispielen) erklĂ€ren? Ich habe zwar im Internet diese begriffe recherchiert, aber ganz verstanden hab ich sie nicht.

vor von

1 Antwort

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Eine Basis besteht aus linear unabhĂ€ngigen Vektoren, die den Raum aufspannen. Ein Beispiel hierfĂŒr sind die Vektoren (1, 0)^T und (0, 1)^T, diese sind linear unabhĂ€ngig. Warum sind diese linear unabhĂ€ngig? DafĂŒr gucken wir uns die Linearkombination der Vektoren an, die den Null Vektor ergibt: x(1, 0)^T + y(0, 1)^T = 0, kurz (x, y)^T = 0, genau dann, wenn x und y beide 0 sind! (x = 0, y = 0 ist einzige Kombination die Nullvektor ergibt)

1.) Bestimme eine Basis des Vektorraumes v1,v2,v3

- Dazu bestimmen wir, ob die Vektoren linear unabhÀngig sind.

- Beispiel: WÀren v_1 = (1, 0, 0)^T, v_2 = (0, 1, 0)^T und v_3 = (0, 0, 1)^T, dann wÀren wir hier schnell fertig, da man den Vektoren ihre lineare UnabhÀngigkeit direkt ansehen kann.

- Zur ÜberprĂŒfung der Linearen UnabhĂ€ngigkeit ohne Gauß mĂŒssen wir folgende Überlegung anstellen: x*v_1 + y*v_2 = v_3, d.h. gibt es irgendein x und y, mit dem ich den Vektor v_3 als Linearkombination von v_1 und v_2 schreiben kann. Mit Gleichungen formuliert also:

-x + y = 2 → x = y -2
2x + y = -3 → -0.5y - 3/2
x - 4y = -3 → x = 4y - 3

--> x = -5/3 und y = 1/3

--> (-5/3)*(-1, 2, 1)^T + (1/3)*(1, 1, -4)^T = (2, -3, -3)^T

--> Die Vektoren sind linear abhÀngig!

- Eine Basis dieses Vektorraumes ist dann durch die Vektoren v_1 und v_2 gegeben!

vor von 2,8 k

Vielen Dank! ich rechne es schnell nach. Und was ist diese hoch T ?

Das T bedeutet transponiert. Das bedeutet hier, dass es sich im einen Spalten Vektor handelt :)

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