Zeigen Sie: Ist die Matrix A in Zeilenstufenform und r der Rang von A, so ist (e1, e2, er) Basis von imA

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist die Matrix A∈M(m×n;ℝ) in Zeilenstufenform und r der Rang von A, so ist (e₁, e₂, ... , e_r) eine Basis von im A ⊂ ℝ^m.

Mithilfe des Gauss-Algorithmus.

Problem/Ansatz:

Als Hilfestellung wurde ein Beispiel angegeben: \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Der Rang dieser Matrix ist 2, also r = 2. Was ist hier also nur zu tun?

Wäre nett, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte.

Vielen Dank im Voraus

Comments

Verstehst du die Aussage der Aufgabe und ihren Beweis anhand des angegebenen Beispieles?
Versuch zuerst die Aussage für eine Matrix A∈M in Zeilenstufenform zu beweisen, wobei die ersten r-Spalten von A linear unabhängig sind. Danach muss nur noch der allgemeine Fall bewiesen werden, aber nun weiß man ja, dass r- Spalten von A linear unabhängig sind. Dies muss nur noch vom vorhergehenden Fall reduziert werden!