Aloha :)
Wir wollen prüfen, ob die Komposition \((g\circ f)\) zweier stetiger Funktionen \(f,g:\mathbb R\to\mathbb R\) wieder stetig ist. Dazu sei \(a\) ein beliebiger, aber fester Punkt aus der Definitionsmenge \(\mathbb D=\mathbb R\) und es sei \((x_n)\) eine beliebige Folge mit \(x_n\in\mathbb D\) und \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\).
Dann ist \(f(x_n)\) eine Folge in der Bildmenge \(\mathbb B=\mathbb R\), die wegen der Stetigkeit von \(f\) konvergiert:$$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)$$Wegen der Stetigkeit von \(g\) gilt dann auch:$$\lim\limits_{n\to\infty}(g\circ f)(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}g(f(x_n))=g(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n))=g(f(a))=(g\circ f)(a)$$
Damit ist auch \((g\circ f)\) in \(a\) stetig. Da \(a\) aus dem Definitionsbereich beliebig gewählt wurde, ist \((g\circ f)\) auf der ganzen Definitionsmenge \(\mathbb D\) stetig.
