Steckbriefaufgabe: Ganzrationale Funktion 3. Grades, die bei x=0 eine Nullstelle, in P(1|2) ein lokales Extremum …

Question

Steckbriefaufgabe:

Gesucht ist die ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle, in P(1|2) ein lokales Extremum und bei x=1 einen Wendepunkt hat.

f(x)=2x³-6x²+6x

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathlounge!

Eine Funktion kann nicht gleichzeitig an der Stelle \(P(1|\, 2)\) ein lokales Extrema und einen Wendepunkt haben! Sie kann aber eine Steigung von 0 im Wendepunkt haben. Ich gehe davon aus, dass dies hier gemeint ist.

Die allgemeine Gleichung für eine ganzrationale Funktion dritten Grades nebst ihrer Ableitungen ist$$f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d\\ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \\ f''(x) = 6ax + 2b $$Die Funktion hat bei \(x=0\) eine Nullstelle; folglich ist$$f(0) = 0 = d \implies d = 0$$und sie geht durch den Punkt \(P(1|\,2)\), das heißt$$f(1) = a + b + c + d = 2$$Für \(x=1\) müssen die erste (Steigung =0) und die zweite Ableitung (Wendestelle) gleich 0 sein. Daraus folgt$$f'(1) = 0 = 3a + 2b + c \\ f''(1) = 0 = 6a + 2b$$Mit \(d=0\) (s.o.) bleiben noch drei Gleichungen mit den drei Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\).

Falls Du nicht weißt, wie man das löst, so melde Dich bitte. Es ist $$a = 2, \quad b=-6, \quad c=6$$und die Funktion sieht so aus:

~plot~ 2x^3-6x^2+6x ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

Hm Bei x = 1 ein Extremum und bei x = 1 einen Wendepunkt geht denke ich nicht.

Answer 3

Gesucht ist die ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei x=0 eine Nullstelle und in P(1|2)  einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat.

Ich verschiebe den Graphen um 2 Einheiten nach unten: P(1|0) Der Graph hat nun im Wendepunkt eine dreifache Nullstelle.

Linearfaktorenform :\( f(x)=a(x-1)^3 \).

...die bei x=0 eine Nullstelle hat: Der Graph schneidet die y-Achse jetzt in   \( Y(0|-2) \)  

\( f(0)=a(0-1)^3=-a =-2 \)        \( a=2 \) 

\( f(x)=2(x-1)^3 \)

....und um 2 Einheiten nach oben:

\( p(x)=2(x-1)^3+2 \)

Comments

Warum veränderst du die Aufgabe (auch wenn sie offenbar falsch ist)?

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Ich habe es deshalb verändert, weil eine Funktion  nicht gleichzeitig an der Stelle \(P(1|\, 2)\) ein lokales Extrema und einen Wendepunkt haben kann . ( siehe Werner -Salomon)

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Und der Sinn dahinter? Es wurde zweimal erwähnt, dass etwas mit der Aufgabe nicht stimmt. Also muss man nicht eine unnötige dritte Antwort posten, die dann einfach mal die Aufgabe ändert. Vielleicht soll ja an einer Stelle eine -1 stehen?

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Vielleicht merkst du auch, dass ich einen wesentlich kürzeren Weg notiert habe als der Antwortgeber, der ja auch die Aufgabe geändert hat.

Wo ist der Sinn hier?:"Vielleicht soll ja an einer Stelle eine -1 stehen?"

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Allerdings fehlt in Deiner Aufgabenstellung (gelbe Box), dass die Wendetangente waagerecht sein soll.

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Danke Dir, habe ich geändert.

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Wo ist der Sinn hier?:"Vielleicht soll ja an einer Stelle eine -1 stehen?"

Damit ist gemeint, dass in der Aufgabe vielleicht ein Druckfehler vorliegt oder der FS sich vertippt hat... wie auch immer die Aufgabe nun lautet, ob \(P(-1|2)\) oder der Wendepunkt vielleicht doch bei \(x=-1\) ist, sie ist so, wie sie hier wiedergegeben wurde, nicht lösbar.

Wenn jetzt jeder seine Lösung präsentiert, wie er meint, die Aufgabe sei richtig, führt das nur zu Chaos.

Aber auch 2021 hat es offenbar niemanden so richtig interessiert und es wurde einfach der Punkte wegen oder aufgrund des eigenen Egos eine Antwort geschrieben. Solange eine Aufgabe nicht richtig gestellt wurde oder zumindest der konkrete Fehler der Aufgabe nicht eindeutig ist, sollte man einfach keine Antwort schreiben, zumindest dann nicht, wenn man ohnehin nur vorrechnet. Die Leute, die hier Hilfe suchen, müssen einfach lernen, Aufgaben korrekt wiederzugeben und auf Rückfragen - die seitens der Helfer erfolgen sollten - zu reagieren. Das wird sich aber nicht ändern, wenn man diesen Leuten dennoch immer alles präsentiert, was sie haben wollen.

Ich finde, von unserer Seite kann man da ruhig ein wenig drauf achten ...

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Der FS hat am 16.01.2021seine Frage eingestellt. Eine gesternte Reaktion des FS lässt erkennen, dass er mit der Antwort einverstanden ist. Es wäre halt gut, hätte er noch seine Frage berichtigt.

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Eine gesternte Reaktion des FS lässt erkennen, dass er mit der Antwort einverstanden ist

Dann hätte ich erwartet, dass der FS das erläutert (Schreibfehler, Fehler in der Aufgabenstellung ...)