Grenzwertberechnung lim(x->0) bei der e-Funktion, lim((e^x - e^{-x})/sin(x))

Question

Ich soll den Grenzwert von folgendem Term bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{\sin (x)}\right) \)

Ich bin davon ausgegangen ich könne den Zähler und Nenner getrennt ausrechnen. Da e⁰=1 ist und e^-0 ebenfalls 1 ist bin ich davon ausgegangen der Zähler sei 0, sin(0) ist auch 0, sprich ich hätte als Lösung 0/0 stehen. Mein toller Taschenrechner sagt mir allerdings der Grenzwert sei 2, welchen Fehler habe ich in meiner Denkweise gemacht?

Answer 1

lim((e^x - e^-x)/sin(x))               

                       |Du benutzt 'Hospital' , weil hier 0/0 stünde.

= lim ((e^x + e^{-x})/cos(x))

= (e^0 + e^{-0})/cos(0)

= (1+1)/1 = 2

Dein Weg, so wie ich ihn begriffen habe, liefert bei mir den Grenzwert 2.

Vermutlich hattest du e^{-x} falsch abgeleitet.

Setze die innere Funktion u = -x, u' = -1

Daher (e^{-x} ) ' = e^{-x} * (-1) = -e^{-x}

==> (e^x - e^{-x})' = e^x -(-e^{-x}) = e^x + e^{-x}

Comments

Ich hatte gar nicht mehr an die Hosptial Regel gedacht *kopfschüttel*

Jetzt ergibt allerdings alles einen Sinn, vielen dank dir! :)