Stetigkeit von komplexen Funktionen

Question

Aufgabe:

Seien $a, b, c \in \mathbb{R}$ mit $a<b<c$ und $f_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ und $f_{2}:[b, c] \rightarrow \mathbb{C}$ stetige Funktionen mit $f_{1}(b)=f_{2}(b)$. Zeigen Sie, dass dann auch die Funktion
$f:[a, c] \rightarrow \mathbb{C} ; f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_{1}(x) & \text { falls } x \in[a, b], \\ f_{2}(x) & \text { falls } x \in[b, c], \end{array}\right.$
stetig ist.

Problem/Ansatz:

,

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Kann mir dabei bitte jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Es gilt $\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x) = f(b)$

Comments

Vielen Dank erstmal.

Wieso gilt das denn? Bzw. benötige ich das zum Beweis?

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Wieso gilt das denn?

 $\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)$ gilt, weil

        $\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\nearrow b}f_1(x)$

und

        $\lim\limits_{x\searrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f_2(x)$

ist und $f_1$ und $f_2$ stetig sind und

        $f_1(b)=f_2(b)$

ist.

benötige ich das zum Beweis?

Das ist der Beweis.

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Ok danke...eine letzte Frage...was bedeuten die diagonalen Pfeile unter den Limennzen?

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$\lim\limits_{x\nearrow b}f(x)$ ist der linksseitige Grenzwert von $f$ für $x\to b$. Das heißt, es wird im ε-δ-Kriterium anstatt der Umgebung

        (b-δ, b+δ)

nur die Umgebung

        (b-δ, b)

betrachtet. Dementsprechend wird beim rechtsseitigen Grenzwert nur die Umgebung

        (b, b+δ)

betrachtet.

Das sind sogenannte einseitige Grenzwerte. Ein wichtiger Zusammenhang zwischen Grenzwerten und einseitigen Grenzwerten ist

Satz. Existieren $\lim\limits_{x\nearrow b}f(x)$ und $\lim\limits_{x\searrow b}f(x)$ und gilt

        $\lim\limits_{x\nearrow b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)$,

dann existiert $\lim\limits_{x\to b}f(x)$ und es gilt

        $\lim\limits_{x\to b}f(x) = \lim\limits_{x\searrow b}f(x)$.