Bestimme die partiellen Ableitungen, den Gradienten an der Stelle (x, y) und an der Stelle (x_{0}, y_{0})

Question

Aufgabe:

Man bestimme die partiellen Ableitungen, den Gradienten an der Stelle \( (x, y) \) und an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \).

a) \( f(x, y)=x^{2} y^{3}+x y^{2}+2 y, \quad\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1) \)

b) \( f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \quad\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) \)

Answer 1

Aloha :)

Beim partiellen Ableitgen betrachtest du alle Variablen als Konstante, außer derjenigen, nach der du gerade partiell ableitest. Damit kannst du wie folgt rechnen:

zu a)\(\quad f(x,y)=x^2y^3+xy^2+2y\quad;\quad(x_0;y_0)=(0;1)\)$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^3+y^2$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+2xy+2$$$$\operatorname{grad} f(x,y)=\binom{2xy^3+y^2}{3x^2y^2+2xy+2}\implies\operatorname{grad}f(0;1)=\binom{1}{2}$$

zu b)\(\quad f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\quad;\quad(x_0;y_0)=(1;1)\)$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)\cdot2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-2y(x^2+y^2)-(x^2-y^2)\cdot2y}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{4x^2y}{(x^2+y^2)^2}$$$$\operatorname{grad} f(x,y)=\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}\binom{y}{-x}\implies\operatorname{grad}f(1;1)=\binom{1}{-1}$$