Zeigen Sie, dass e^(z) = (e^z ) fur alle ¨ z ∈ C. Hier ist z* die zu z komplex konjugierte Zahl.

Question 1

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass e^z*₌ (e^z )^* fur alle ¨ z ∈ C. Hier ist z* die zu z komplex konjugierte
Zahl.

Question 2

Aus z=x+iy folgt z*=x-iy.

Somit gilt \(e^{z*}=e^{x-iy}\). Die komplexe Zahl \(e^{z*}=e^{x-iy}\) hat den Betrag r=e^z und das Argument φ= -y.

Die komplexe Zahl \(e^{z}=e^{x+iy}\) hat den Betrag r=e^z und das Argument φ= y.

Hat eine komplexe Zahl ein Argument φ, so hat ihre konjugiert komplexe Zahl das Argument -φ.
Da e^z das Argument y hat, hat (e^z)* das Argument φ= -y

\(e^{z*}\) und \((e^{z})^*\) haben also gleiche Beträge und gleiche Argumente.

abakus · Answer 1 · 2021-01-17T17:58:00+0000

Aus z=x+iy folgt z*=x-iy.

Somit gilt \(e^{z*}=e^{x-iy}\). Die komplexe Zahl \(e^{z*}=e^{x-iy}\) hat den Betrag r=e^z und das Argument φ= -y.

Die komplexe Zahl \(e^{z}=e^{x+iy}\) hat den Betrag r=e^z und das Argument φ= y.

Hat eine komplexe Zahl ein Argument φ, so hat ihre konjugiert komplexe Zahl das Argument -φ.
Da e^z das Argument y hat, hat (e^z)* das Argument φ= -y

\(e^{z*}\) und \((e^{z})^*\) haben also gleiche Beträge und gleiche Argumente.

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