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Aufgabe:

Wenn man bei einem Quadrat die eine Seitenlänge um 2cm verkleinertund die andere um 3cm vergrößert, so ist der Flächeninhalt des entstehenden Rechteckesum 3,5 cm2kleiner als der des ursprünglichenQuadrates. Bestimme die Seitenlänge des Quadrates.

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Aloha :)

Die Seitenlänge des Quadrates vor der Änderung sei \(x\). Dann ist die Fläche des Quadrates$$F_{\text{vorher}}=x^2$$Nun wird die eine Seite um \(2\) verkleinert und die andere Seite um \(3\) vergrößert. Die Fläche des so entstehenden Rechtcks beträgt nun:$$F_{\text{nachher}}=(x-2)(x+3)$$Die neue Fläche ist um \(3,5\) kleiner als die alte Fläche. Das heißt, wir müssen zu der neuen Fläche \(3,5\) dazu tun, damit wir wieder auf die alte Fläche kommen:

$$\left.F_{\text{nachher}}+3,5=F_{\text{vorher}}\quad\right|\text{Flächen einsetzen}$$$$\left.(x-2)(x+3)+3,5=x^2\quad\right|\text{links ausmultiplizieren}$$$$\left.(x^2-2x+3x-6)+3,5=x^2\quad\right|\text{links zusammenfassen}$$$$\left.x^2+x-2,5=x^2\quad\right|-x^2$$$$\left.x-2,5=0\quad\right|+2,5$$$$x=2,5$$

Wir machen kurz die Probe:$$F_{\text{vorher}}=x^2=(2,5\,\mathrm{cm})^2=6,25\,\mathrm{cm}^2$$$$F_{\text{nachher}}=(x-2\mathrm{cm})(x+3\mathrm{cm})=0,5\mathrm{cm}\cdot5,5\mathrm{cm}=2,75\,\mathrm{cm}^2$$Es ist tatsächlich: \(6,25\mathrm{cm}^2-2,75\mathrm{cm}^2=3,5\mathrm{cm}^2\quad\checkmark\)

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Vielen vielen Dank für die Hilfe Sie haben mir sehr geholfen

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