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Wir sollen die Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmen:$$f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Das Problem dabei ist, dass \(h\) im Nenner steht, sodass wir \(h=0\) nicht einfach einsetzen können. Wir müssen also den Bruch so umformen, dass wir das \(h\) aus dem Nenner irgendwie loswerden bzw. rauskürzen können. Dazu setzen wir die Funktionsgleichung in den Zähler ein und rechnen:
$$f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\overbrace{(a+h)^2}^{=f(a+h)}-\overbrace{a^2}^{=f(a)}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(a^2+2ah+h^2)-a^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h}$$$$\phantom{f'(a)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\cdot(2a+h)}{h}=\lim\limits_{h\to0}(2a+h)=2a+0=2a$$
Die Ableitung von \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(a\) ist also \(f'(a)=2a\).
Insbesondere ist \(f'(1,5)=2\cdot1,5=3\) und \(f'(3)=2\cdot3=6\).
