Fixpunkte Berechnen -> Analysis

Question

Aufgabe:

Es seien a, b ∈ R mit a < b. Weiter sei f : [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen

Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h. einen Punkt x ∈ [a, b] mit f(x) = x.

Problem/Ansatz:

Würde hier mit der Hilfsfunktion operieren, sprich: g(x) = f(x) - x ,

jedoch komme ich einfach nicht weiter. Hat Jemand Anregungen oder Hinweise ?

Answer 1

Würde hier mit der Hilfsfunktion operieren, sprich: g(x) = f(x) - x

Das ist richtig. Du kannst jedes Fixpunktproblem in ein Nullstellenproblem umwandeln

\(g\) ist stetig als Differenz stetiger Funktionen. Dann kann der Zwischenwertsatz angewendet werden. Nun nutzt du dabei aus, dass \(f\) das Intervall \([a,b]\) auf sich selbst abbildet. Denn es gilt:

\(g(a)=f(a)-a\geq 0\) und \(g(b)=f(b)-b\leq 0\). Damit exisitiert nach dem Zwischenwertsatz (oder in diesem Spezialfall auch nach dem Nullstellensatz von Bolzano), dass es ein \(x_0\in [a,b]\) gibt, so dass \(g(x_0)=f(x_0)-x_0=0\) also \(f(x_0)=x_0\).