Fixpunkte Berechnen -> Analysis

Question

Aufgabe:

Es seien a, b ∈ R mit a < b. Weiter sei f : [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen

Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h. einen Punkt x ∈ [a, b] mit f(x) = x.

Problem/Ansatz:

Würde hier mit der Hilfsfunktion operieren, sprich: g(x) = f(x) - x ,

jedoch komme ich einfach nicht weiter. Hat Jemand Anregungen oder Hinweise ?

Answer 1

Würde hier mit der Hilfsfunktion operieren, sprich: g(x) = f(x) - x

Das ist richtig. Du kannst jedes Fixpunktproblem in ein Nullstellenproblem umwandeln

$g$ ist stetig als Differenz stetiger Funktionen. Dann kann der Zwischenwertsatz angewendet werden. Nun nutzt du dabei aus, dass $f$ das Intervall $[a,b]$ auf sich selbst abbildet. Denn es gilt:

$g(a)=f(a)-a\geq 0$ und $g(b)=f(b)-b\leq 0$. Damit exisitiert nach dem Zwischenwertsatz (oder in diesem Spezialfall auch nach dem Nullstellensatz von Bolzano), dass es ein $x_0\in [a,b]$ gibt, so dass $g(x_0)=f(x_0)-x_0=0$ also $f(x_0)=x_0$.