Wie entscheidet man, ob die Funktion ein Minimum annimmt?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1.

a) Sei f : [0, 1] → R eine monotone Funktion mit f(0) = −1 und
f(1) = 1. Entscheiden Sie, ob die Funktion f : [0, 1] → R ein Minimum annimmt, und bestimmen Sie gegebenenfalls den minimalen
Wert.

b) Sei g : [0, 1] → R eine stetige Funktion mit g(0) = −1 und g(1) =
1. Entscheiden Sie, ob die Funktion |g|: [0, 1] → R ein Minimum
annimmt, und bestimmen Sie gegebenenfalls den minimalen Wert.
Begrunden Sie jeweils Ihre Antworten.

Problem/Ansatz:

Wie entscheidet man, ob die Funktion ein Minimum annimmt?

Answer 1

Wenn monoton steigend ist ( fallend ist wegen f(1)>f(0) nicht möglich )

dann gilt für alle x>0 auch f(x)≥f(0). Somit ist bei x=0 ein Minimum

mit dem minimalen Wert f(0).

b) |g| ist dann auch eine steige Funktion mit g(0)=g(1) =1 .

Nach dem Zwischenwertsatz hat die Funktion g an mindestens einer Stelle

in [0;1] den Wert 0, also hat |g| dort auch den Wert 0 und das ist

,weil |g| nie negativ ist , ein Minimum von |g|. Der minimale Wert ist also 0.

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Vielen Dank :)