Aloha :)
Ich würde hier die folgende Indentität ausnutzen$$\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$$und dann die Potenzreihe für die \(\cos\)-Funktion bemühen$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp O(x^6)$$um folgende Taylor-Näherung hinzuschreiben:
$$\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{(2x)^2}{2}+\frac{(2x)^4}{4!}\right)=\frac{4x^2}{4}-\frac{16x^4}{2\cdot24}=x^2-\frac{x^4}{3}$$
Damit lautet die gesuchte Näherung:
$$\int\limits_0^{0,5}\sin^2(x)dx\approx\int\limits_0^{0,5}\left(x^2-\frac{x^4}{3}\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{15}\right]_0^{0,5}=\frac{1}{24}-\frac{1}{480}=\frac{19}{480}$$Das Ergebnis \(\frac{19}{480}\approx0,03958\) kommt sehr nahe an den Soll-Wert \(0,03963\) heran!
