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Ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Aufgabe:

Seien K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Seien f, g Endomorphismen von V .

Zeigen Sie: 2 rg(g ◦ f) − dim(V ) ≤ rg(f ◦ g)


Problem/Ansatz:


Bisher gefolgert habe ich:

rg(f ◦ g)=dim(im(g))-dim(ker(f(im(g)))

rg(g ◦ f)=dim(im(f))-dim(ker(g(im(f)))

dim(V) = dim(im(f)) + dim(ker(f))

Durch Einsetzen folgte:

2(dim(im(f))-dim(ker(g(im(f)))) -(dim(im(f)) + dim(ker(f)))

≤ dim(im(g))-dim(ker(f(im(g)))

Leider scheitere ich an diesem Punkt. Ich würde mich über eine Antwort freuen!


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