Ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Aufgabe:
Seien K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Seien f, g Endomorphismen von V .
Zeigen Sie: 2 rg(g ◦ f) − dim(V ) ≤ rg(f ◦ g)
Problem/Ansatz:
Bisher gefolgert habe ich:
rg(f ◦ g)=dim(im(g))-dim(ker(f(im(g)))
rg(g ◦ f)=dim(im(f))-dim(ker(g(im(f)))
dim(V) = dim(im(f)) + dim(ker(f))
Durch Einsetzen folgte:
2(dim(im(f))-dim(ker(g(im(f)))) -(dim(im(f)) + dim(ker(f)))
≤ dim(im(g))-dim(ker(f(im(g)))
Leider scheitere ich an diesem Punkt. Ich würde mich über eine Antwort freuen!
