Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Question

Aufgabe:

Bei einer bestimmten Abfüllmaschine erhält man durch Beobachtung folgende Daten:

Die Füllmenge ist normalverteilt.

20% der Füllmengen sind kleiner als 24kg

90% der Füllmengen sind kleiner als 26kg

Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Problem/Ansatz:

Wir haben sowas nie im Unterricht behandelt. Keiner aus den beiden LK-Kursen konnte mir helfen.

Ich finde leider nichtmal einen Ansatz. Mit der Sigma-Umgebung kann man in dem Fall ja nicht rechnen....

Answer 1

Hallo,

du hast zwei Gleichungen und zwei Variablen:$$P(X<24)=\Phi\left(\frac{24-\mu}{\sigma}\right)=0.2 \, \text{ und } \, P(X<26)=\Phi\left(\frac{26-\mu}{\sigma}\right)=0.9$$ Mit der inversen Standardnormalverteilung erhältst du dann:$$\frac{24-\mu}{\sigma}=-0.84162 \, \text{ und } \, \frac{26-\mu}{\sigma}=1.281552$$ Ich denke, dass du ab hier alleine klar kommst. Löse das Gleichungssystem.

Kontrolllösung: \(\mu \approx 24.8\) und \(\sigma\approx 0.94\)

Comments

Mit der inversen Standardnormalverteilung erhältst du dann:$$\frac{24-\mu}{\sigma}=-0.84162 \, \text{ und } \, \frac{26-\mu}{\sigma}=1.281552$$

Den Schritt verstehe ich leider immer noch nicht ganz. Wie wende ich die inverse Standardnormalverteilung an und und wie kann ich das Gleichungssystem per Hand oder Matrix lösen? Unser Kurs verwendet kein CAS-System...

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Hallo,

die Quantile für die Standardnormalverteilung kann man in Tabellen einsehen. Oder eben mit einem Taschenrechner berechnen.

wie kann ich das Gleichungssystem per Hand oder Matrix lösen?

Händisch und sogar sehr einfach. Zieh die Gleichungen z. B. mal voneinander ab.

Answer 2

Mein Rechner sagt (mit m für μ und s für σ):

Comments

Handelt es sich bei deinem Rechner um einen CAD? Weil ich einen GTR benutze und ehrlich gesagt die Befehle nicht wiedererkenne. Soweit ich das richtig verstehe, hast du ein Gleichungssystem aus den den gegeben Daten erstellt, oder?

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Ja (wenn Du CAS meinst) und ja (zum Gleichungssystem). Mit zweimal der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Vielleicht ist die "schöne" Darstellung meines Rechners besser lesbar:

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Genau, da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Ich verstehe jetzt zwar den Ansatz, wüsste aber nicht, wie ich das per Hand oder Matrix ausrechnen könnte...

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Von Hand kann man es mit der SNV-Tabelle machen. Racine Carrée hat das in seiner Antwort im Prinzip vorgemacht (er scheint eine sehr genaue Tabelle zu haben). Es dürfte lehrreich für Dich sein, die von ihm genannten Werte in der Tabelle zu suchen, das hilft beim Verständnis von Verteilung und Tabelle.