Integral per Substitution berechnen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich bin per Substitution von u(x) = x²-1 an die Aufgabe gegangen:

$$ \int \limits_{1}^{1,25}x\sqrt{x^2-1} dx =  \frac{1}{2} \int \limits_{1}^{1,25}2x\sqrt{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \int \limits_{1^2-1}^{1,25^2-1} \sqrt{u} du =  \frac{(\sqrt[3]{1,25^2-1})}{3} - \frac{(\sqrt[3]{1^2-1})}{3} $$

Es wäre jedoch nett, wenn mir jemand einen Tipp zu einer Lösung der Aufgabe geben könnte, die sich an der vorgeschlagenen Substitution x = cosh(u) orientiert.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo

dazu brauchst du (cosh(x))'=sinh(x) und cosh^2(x)-sinh(^2(x)=1

Gruß lul

Comments

Damit komme ich so weit:

$$ \int \limits_{1}^{1,25}x\sqrt{x^2-1}dx = \int \limits_{arcosh(1)}^{arcosh(1,25)} cosh(u)\sqrt{cosh^2(u)-1}sinh(u)dx = \int \limits_{arcosh(1)}^{arcosh(1,25)} cosh(u)sinh^2(u)dx $$

Ich sehe noch nicht, dass mein Vorgehen zu einer eleganten Lösung führt. Übersehe ich etwas?

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Wobei sich letzterer Ausdruck noch weiter vereinfachen lässt. Ab hier komme ich allerdings nicht weiter:

$$ \int \limits_{arcosh(1)}^{arcosh(1,25)}\cosh^3(x)-cosh(x) dx $$

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Hallo

Du hast recht, deine Substitution wird auch von anderen Integralrechnern im Netz benutzt, während man das entstehende Integral mit cosh * sinh^2  nur durch partielle Integration lösen kann, also ein riesiger Umweg.

Gruß lul

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Danke für die Antwort - genau das meinte ich mit einer wenig eleganten Lösung. Da ich noch davon ausgehe, dass sich der Aufgabensteller etwas mit dem Hinweis x=cosh(u) gedacht hat, bin ich nach wie vor auf der Suche nach einer besseren Idee. Ich kann mir nicht vorstellen, dass hier dieser riesige Umweg verlangt wird.

Answer 2

Deine erste Substitution ist sicher zu bevorzugen. Du solltest allerdings richtig rechnen.

Die Subst. x = cosh(u) wäre die Bessere, wenn Du kein x vor der Wurzel hättest.

In dieser Subst. ist Dein Ansatz richtig; Du musst allerdings cosh(u) sinh^2(u) nochmals substituieren (cosh = sinh').

Und ich würde ein bestimmtes Integral nie in der substituierten Form, sondern immer in der resubstituierten Form rechnen.

Comments

Hallo und danke für die Antwort. Inwiefern lässt sich $$ \int \limits_{arcosh(1)}^{arcosh(1,25)}cosh(u)sinh^2(u)du $$ mit cosh = sinh' nochmal substituieren? Mithilfe der Substitutionsregel $$ \int \limits_{b}^{a}f(φ(t))φ'(t)dt = \int \limits_{φ(b)}^{φ(a)}f(x)dx $$ würde sich mir dein Hinweis nur erschließen, wenn die Substitution die Form x = φ(t) oder φ(t) = x hätte, aber nicht, wenn eine Substitution der Form φ(t) = ψ(t) vorliegt. Könntest du das erläutern oder mir den ersten Schritt auf dem Weg zur Substitution zeigen?

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phi = sinh

Deine erste Rechnung ( intg sqrt(u) ) ist immer noch falsch.

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Dass phi = sinh sein soll hattest du ja schon geschrieben. Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, wie ich die Substitutionsregel mit dieser Susbtitution anwenden soll. Wenn der Ausdruck cosh(u)sinh(u)^2 mein f(x) aus der Formel wäre, dann müsste ich die variable u substitutieren und nicht die funktion f. Die andere Seite der Formel kann ich jedoch auch nicht anwenden, da cosh(u)sinh(u)^2 nicht die Form f(phi(t)))phi'(t) hat.

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Du hast erst x durch u ersetzt, jetzt ersetze u durch v.

Schreibe in Deiner Subst.formel links statt t ein u und rechts statt x ein v, dann setze ein und rechne aus.

Die andere Seite der Formel kann ich jedoch auch nicht anwenden, da cosh(u)sinh(u)^2 nicht die Form f(phi(t)))phi'(t) hat.

Du machst den Fehler, Dich an Variablennamen aufzuhängen. Die Regel heißt: Eine Funktion über phi mal die Ableitung von phi, und diese Struktur hast Du.

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Stand ein bisschen auf dem Schlauch. Jetzt sehe ich es auch. Komme nun auf folgende Substitution (im zweiten Schritt beziehe ich mich darauf, dass 1,25 = cosh(ln(2)):

$$ \int \limits_{arcosh(1)}^{arcosh(1,25)}cosh(u)sinh^2(u)du = \\ \int \limits_{sinh(arcosh(1))}^{sinh(arcosh(cosh(ln(2))))}v^2dv = \\ \int \limits_{sinh(arcosh(1))}^{sinh(ln(2))}v^2dv = \\ \int \limits_{sinh(0)}^{0,75} v^2dv = \\ \int \limits_{0}^{0.75}v^2dv = [\frac{0,75^3}{3}]-[\frac{0^3}{3}] = \frac{27}{192}$$

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(1) Dein obiges Integral mit der Wurzel ist immer noch falsch. Du solltest es endlich ausrechnen, (a) damit Du einen Vergleich für Dein Ergebnis hast, (b) damit Du auch sieht und ein Gespür dafür bekommt, welche Methoden wann sinvoll(er) sind..

(2) Du hast zwar substituiert, aber nie hingeschrieben, was und wie; so etwas ist schlampig.

(3) Die Vereinfachung der Integrationsgrenzen soltest Du als Nebenrechnung ausgliedern, das ist übersichtlicher.

(4) Wie erwähnt, würde ich nie Integrationsgrenzen mitsubstituieren, sondern erst resubstituieren, dann erst die originalen Grenzen einsetzen. Es gilt also: intg v^2 dv = v^3/3, jetzt mache alle Sustitutionen rückgängig; das wäre auch sinnvoll als Vergleich mit Deinem Wurzel-Integral.

(Was würdest Du eigentlich machen, wenn der Hinweis zur oberen Grenze nicht dastünde?)