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Aufgabe:

Bestimme die Lösungen folgender Gleichung: 919,70 = 500t • e^(-0,1t)


Problem/Ansatz:

Ich stehe leider total auf dem Schlauch wie ich die Aufgabe lösen kann.

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Aloha :)

Für Gleichungen dieser gibt es leider keine allgemein gültige geschlossene Berechnungsformel. Manchmal hat man Glück und die Zahlenwerte lassen irgendwelche Tricks zu, aber diese sehe ich hier nicht. Wir müssen das Problem daher iterativ angehen:$$500\cdot t\cdot e^{-0,1t}\stackrel!=919,7\quad\Longleftrightarrow\quad t\cdot e^{-0,1t}\stackrel!=\frac{919,7}{500}\quad\Longleftrightarrow$$$$f(t)\!\coloneqq t\cdot e^{-0,1t}-1,8394\stackrel!=0$$Ein Plot verrät uns, dass es 2 Lösungen gibt, eine bei \(t\approx2\) und eine bei \(t\approx26\):

~plot~ x*e^(-x/10)-1,8394 ; [[0|30|0|2]] ~plot~

Zur Berechnung verwenden wir das Newton-Verfahren. Dabei starten wir mit einem Schätzwert \(t_0\), bestimmen die Gleichung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt:$$g(t)=f(t_0)+f'(t_0)\cdot(t-t_0)$$und berechnen den Schnittpunkt \(t_1\) dieser Tangente mit der \(t\)-Achse:$$g(t_1)\stackrel!=0\implies f(t_0)+f'(t_0)\cdot(t_1-t_0)=0\implies f'(t_0)\cdot(t_1-t_0)=-f(t_0)\implies$$$$t_1=t_0-\frac{f(t_0)}{f'(t_0)}$$Dieser Schnittpunkt \(t_1\) ist dann unsere (bessere) Näherungslösung. Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Für unsere Funktion \(f(t)\) von oben lautet die Iterationsformel:

$$t_1=t_0-\frac{t_0\cdot e^{-0,1t_0}-1,8394}{1\cdot e^{-0,1t_0}+t_0\cdot(-0,1)e^{-0,1t_0}}=t_0-\frac{t_0-1,8394e^{+0,1t_0}}{1-0,1\cdot t_0}$$

Das Newton-Verfahren konvergiert sehr schnell, nach nur 4 Schritten ändert sich das Ergebnis nicht mehr:

blob.png

Wir haben also 2 Lösungen gefunden:$$t=2,319614118\quad\text{und}\quad t=26,78344566$$

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Das konnte ich mit dem TR nicht.

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Bestimme mit einem Näherungsverfahren die Nullstellen der Funktion

        \(f(x) = 500t \cdot e^{-0,1t}  - 919,70\).

Durch Gleichungsumformungen kann diese Gleichung nicht gelöst werden.

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Bin da leider nicht so fit, welches Verfahren könnte man den hier anwenden?

Newtonverfahren zum Beispiel. Natürlich rechnet man das dann nicht selbst, sondern man beauftragt einen sogenannten Computer, der die Rechnung für einen übernimmt.

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$$919,70 = 500t • e^{-0,1t}$$

$$ln(919,70/500)+0,1t=ln(t)$$

Näherungsverfahren

$$t_0= 918,70/500=1,8394$$$$t_1=e^{ln(918,70/500)+0,1t_0}=2,2109$$$$t_2=e^{ln(918,70/500)+0,1t_1}=2,2945$$$$t_3=e^{ln(918,70/500)+0,1t_2}=2,3180$$$$t_4=e^{ln(918,70/500)+0,1t_3}=2,3192$$$$t_5=e^{ln(918,70/500)+0,1t_4}=2,3195$$$$t_6=e^{ln(918,70/500)+0,1t_5}=2,31959$$$$t_7=e^{ln(918,70/500)+0,1t_6}=2,31961$$$$t_8=e^{ln(918,70/500)+0,1t_7}=2,319613$$

Das ging mit dem Rechner vom Smartphone sehr schnell.

$$t≈2,31961412$$

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