Enthält eine der Ebenen der Schar eine Ursprungsgerade? Ea mit x+ay+(1-2a)z=4

Question

Wäre sehr hilfreich, wen mir jemand bei den Aufgaben helfen kann.

Aufgabe:

geg.: Ebenenschar Ea mit   x+ay+(1-2a)z=4

1. Enthält einer der Ebenen der Schar eine Ursprungsgerade?

2. Welche Ebenen der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?

3. Ermitteln Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der Ebenen E₁ und E_-2.

Bei 3. weiß ich nur das ich etwas für a einsetzen muss. Bei den restlichen aufgaben habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung.

Answer 1

Zunächst schreibe ich die Ebenengleichung in Normalenform: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\a\\1-2a \end{pmatrix} \)=4.

1. Enthält einer der Ebenen der Schar eine Ursprungsgerade?
Dann müsste (0|0|0) die Ebenengleichung erfüllen, was nicht der Fall ist.
2. Welche Ebenen der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?
Hier muss je eine der Koordinaten x, y oder z gleich Null sein.
3. Ermitteln Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der Ebenen E₁ und E_-2.

hier ist der Winkel zwischen den Normalen \( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \)  und \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\5 \end{pmatrix} \) zu bestimmen

Answer 2

1. Enthält eine der Ebenen der Schar eine Ursprungsgerade?

Ea mit   x+ay+(1-2a)z=4

Nein. Jede Ursprungsgerade enthält den Ursprung O(0|0|0) aber   0 + a*0+(1-2a)*0 = 0 ≠ 4

2. Welche Ebenen der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?

Hier müsste der zugenörige Normalenvektor n = (1, a, (1-a)) senktrecht auf der entsprechenden Achse stehen. Überlege dir, wie das möglich sein könnte. Tipp: "senkrecht auf der x-Achse" geht vermutlich nicht.