Bestimmen Sie für jeden Häufungspunkt den Grenzwert von f oder zeigen Sie, dass er nicht existiert ist.

Question

Aufgabe:

Die Funktion f: ℚ \ {0} → ℝ sei gegeben mit der Vorschrift f($\frac{m}{n}$) := $\frac{1}{n}$, wobei $\frac{m}{n}$ die eindeutige Darstellung einer rationalen Zahl ungleich 0 mit teilerfremden m ∈ ℤ und n ∈ ℕ ist.

Bestimmen Sie für jeden Häufungspunkt den Grenzwert von f oder zeigen Sie, dass er nicht existiert ist.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass der Grenzwert nicht existiert, kann das stimmen?

Answer 1

Hallo

alle Folgen von f deren Argumente gegen eine nicht rationale Zahl konvergieren konvergieren gegen 0 , Folgen, die gegen einen rationalen GW gehen können gegen 2 Werte gehen, also konvergieren sie nicht.

Gruß lul

Comments

Was passiert eigentlich mit den Brüchen 4/2 also 2 oder 3? Auf was werden die dann in f abgebildet?

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Hallo

lies den Text! da steht m,n teilerfremd!

also  4/2=2/1 wird auf 1 abgebildet  was " also 2 oder 3" heissen soll weiss ich nicht. alle ganzen Zahlen werden auf 1 abgebildet, Alle Brüche erst gekürzt .

lul

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Ja stimmt, ist mir dann auch aufgefallen aber wie kommst du drauf, dass sie bei nicht rationalen Zahlen gegen 0 konvergieren?

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Weil die Nenner beliebig groß werden, denk z,B nur an die Dezimalentwicklung von √2, 1/1, 14/10. 141/100 1413/1000  usw.

lul  ,