Alternative Herleitung Pythagoreischer Tripel - Wie beweise ich die Richtigkeit?

Question

:)

Ich sitze jetzt schon seit einer Woche an einer Frage, die ich mir selbst aber nicht beantworten kann. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Es geht um pythagoreische Tripel.

Bekanntlich lassen sich alle Tripel berechnen, indem man in a²+b²=c² das "a" mit (x²-y²), "b" mit (2xy) und "c" mit (x²+y²) substituiert, sodass folgende Formel entsteht:

(x²-y²)² + (2xy)² = (x²+y²)²

x sei größer als y. Sei x=2 und y=1, ergäbe sich das Tripel 3² + 4² = 5². Laut Wikipedia war das schon den Babyloniern bekannt. Ich hatte mich aber gefragt, wie die darauf gekommen sind. Es gibt eine Herleitung über den Einheitskreis, die ich schon sehr pfiffig finde. Mit etwas Herumprobieren kam ich aber auch auf die Formel:

a²+b²=a²+b²      beide Seiten (...)²
(a²+b²)²=(a²+b²)²      linke Seite ausmultiplizieren
a⁴+2a²b²+b⁴=(a²+b²)²    auf der linken Seite +2a²b²-2a²b² -> das entspricht ja Null, also müsste es erlaubt sein
a⁴+4a²b²-2a²b²+b⁴=(a²+b²)²   jetzt kann man nach der 2. Binomischen Formel links zusammenfassen
(a²-b²)² + 4a²b² = (a²+b²)²
(a²-b²)² + (2ab)² = (a²+b²)²

Hier lassen sich die Substitutionen jetzt auch ablesen. Wenn man aber über diesen Weg geht, wie kann man dann beweisen, dass tatsächlich ALLE pythagoreischen Tripel so darstellbar sein müssen? Wie könnte man das beweisen nur mit obiger Herleitung?

^^ Beweise waren nie meine Stärke. Leider bin ich schon zu lange aus der Uni, um mich noch an alles zu erinnern... Ich bin für jede Antwort dankbar :)

 

Mit Gruß

Tom

Answer 1

Dass

$$(x^2-y^2)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2)^2$$

Ist offensichtlich, denn

$$(2xy)^2 = (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)^2 $$$$4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)^2 $$$$4x^2y^2=x^4+2x^2y^2+y^4$$$$-(x^4-2x^2y^2+y^4)$$$$4x^2y^2=4x^2y^2$$

Es lassen sich zwar alle Pythagoreischen Zahlentripel bilden, doch nicht alle gebildeten Zahlen sind Pythagoreischen Zahlentripel. Dazu müssen noch folgende Bedingungen gelten.

x,y dürfen keine gemeinsamen Teiler haben und x oder y muss gerade sein.

x>y wurde schon erwähnt.

Nun zum Beweis.

Damit a,b und c keine gemeinsamen Teiler haben, dürfen sie nicht alle drei gerade sein.

a,b können weder  beide gerade, noch beide ungerade sein.

Es sei a gerade und b ungerade, dann folgt c ist ungerade.

$$a^2+b^2=c^2$$$$a^2=c^2-b^2$$

Wenn nun c, b ungerade sind, dann existiert

$$m=(c+b)/2 $$

Und d

$$c-m=d=m-b$$$$c=m+d$$$$b=m-d$$$$a=2k$$

Nun soll

$$a^2=c^2-b^2$$$$(2k)^2=(m+d)^2-(m-d)^2$$$$4k^2=4md$$$$k^2=md$$ m,d müssen teilerfremd sein

$$m |k^2→ m=x^2|k^2$$$$d |k^2→ d=y^2|k^2$$$$k^2=x^2y^2$$$$k=xy$$

Damit haben wir die Behauptung.

$$a=2xy$$$$b=(x^2-y^2)$$$$c=(x^2+y^2)$$

Damit haben wir unter den genannten Bedingungen alle Pythagoreischen Zahlentripel a ; b ; c gefunden,