Differenzierbarkeit einer Funktion |x^3| zeigen

Question

Hallo :)

Ich soll bei der Funktion \(x\rightarrow |x^3|\) untersuchen, ob diese differenzierbar ist. Leider habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich das machen könnte.

Die ableitung der Funktion ist ja \(3x^2\) oder?

Danke schonmal

Answer 1

Die ableitung der Funktion ist ja \(3x^2\) oder?

Diese Aussage ist für negative x falsch. Da ist die Ableitung -3x².

Comments

Stimmt, habe ich nicht beachtet.. Danke

Kannst du mir auch bei dem oberen Teil helfen?

Answer 2

Es ist ja f(x) =  x^3 für x≥0  und

                   = -x^3 für x<0.

Außer bei x=0 ist sie also offenbar als

Teil einer ganzrationalen Funktion diffb.

mit f ' (x) =  3x^2 für x≥0  und
            =  -3x^2 für x<0.

Für x=0 musst du die Sache extra untersuchen über die

Definition also  Differenzenquotient

          ( f(0+h) - f(0) ) / h

        = (|h^3| - 0) / h = |h^3|/h = h^2 *|h| / h = |h| * h

und für h gegen 0 geht das gegen 0, also f auch diffb. bei

x=0 und f'(0)=0.

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Danke...
Kann man die Differenzierbarkeit auch für x>0 und x<0 so zeigen mit den Diff.-Quotienten?

Answer 3

Text erkannt:

\( f(x)=\left|x^{3}\right|=\sqrt{\left(x^{3}\right)^{2}}=\sqrt{x^{6}} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{3 x^{5}}{\sqrt{x^{6}}}=\frac{\sqrt{\left(3 x^{5}\right)^{2}}}{\sqrt{x^{6}}}=\sqrt{\frac{9 x^{10}}{x^{6}}}=\sqrt{9 x^{4}} \)
\( f^{\prime}(x)=3 x \cdot \mid x \)
\( f^{\prime}(-2)=3 \cdot(-2) \cdot 2=-12 \)
\( f^{\prime}(-1)=3 \cdot(-1) \cdot 1=-3 \)
\( f^{\prime}(0)=0 \)
\( f^{\prime}(1)=3 \cdot(1) \cdot 1=3 \)
\( f^{\prime}(2)=3 \cdot(2) \cdot 2=12 \)
Somit ist \( f(x)=\left|x^{3}\right| \) differenzierbar.

Text erkannt:

U)

Comments

Deine Umformung von f ' (x) gilt nur für x≠0.