Diagonalisierbare Matrix (Eigenwertzerlegung)

Question

Es sei $A \in K^{n \times n}$ eine Matrix, die diagonalisiert werden kann als $A=B^{-1} D B$.

Antworten:

1. Die Inverse von $A$ kann geschrieben werden als $A^{-1}-B^{-1}(1 / D) B$. Hierbei bezeichnet $(1 / D)$ die Matrix, die aus $D$ entsteht, wenn die Einträge komponentenweise invertiert werden.

2. Die Inverse von $A$ kann geschrieben werden als $A^{-1}=B(1 / D) B^{-1}$. Hierbei bezeichnet $(1 / D)$ die Matrix, die aus $D$ entsteht, wenn die Einträge komponentenweise invertiert werden.

3. Die Inverse von $A$ kann geschrieben werden als $A^{-1}-B^{-1} D^{-1} B$. Hierbei bezeichnet $D^{-1}$ die Inverse von $D$.

4. Es gilt $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(D)=\prod \limits_{i-1}^{n} D_{i i}$

5. Die Eigenvektoren der Matrix A stehen senkrecht aufeinander.

Comments

Kurze Nachfrage, heißt es wirklich: $A^{-1}-B^{-1}(1 / D) B$ oder aber $A^{-1}=B^{-1}(1 / D) B$

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Sie haben Recht. Zweiteres ist korrekt. Müsste man dann die richtigen Antworten nochmal überdenken?

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Nein, mich hat das nur verwundert.

1.) Ist falsch, das "komponentenweise" stört hier, würde ich das auf die Diagonalelemente beziehen, wäre der Fall schon anders (beachte Hinweis von Arsinoë4)

2.) Ist auch falsch, dazu muss man nur wissen, wie die Inverse gebildet wird...

Rest siehe mathef, dem würde ich so zustimmen...

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Okay ich danke Dir. Der Text hat "-" statt "=" erkannt und ich habe es nicht bemerkt.

Gruß

Answer 1

1 j

2 f

3 w wenn 0 kein Eigenwert ist

4 w

5 f

Comments

Danke vielmals!

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Die Einträge einer Diagonalmatrix können nicht komponentenweise invertiert werden. Allenfalls deren Diagonalelemente.

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Also ist 1 falsch

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Stimmt, ich hatte nur an die Diagonalelemente gedacht.

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@mathef warum haben Sie bei der 1 ein "j" hingeschrieben? Was bedeutet das?

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Vertippt! Sollte ein f werden.