Begründen Sie Ihre Antwort! f : (R \ {0}, ·) → (R>0, ·) ein Gruppenhomomorphismus

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2 (6 Punkte). Gegeben sei die Abbildung
f : (R,\{0}) → R>0, x |—> die Wurzel aus |x|
1. Ist f surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort!
2. Zeigen Sie, dass (R>0,·) eine multiplikative Gruppe ist.
3. Ist f : (R \ {0}, ·) → (R>0, ·) ein Gruppenhomomorphismus? Begründen Sie Ihre Antwort

Problem/Ansatz:kann einer mir bitte dabei helfen werde ihnen sehr dankbar sein

Answer 1

1. Sei y∈R^>0  . Gibt es x ∈ R\{0}  mit f(x) = y  ?

           Ja, denn       für y^2 ( das ist nicht 0 ) gilt f(y^2) = √|y^2| = |y| = y ( da y>0 ) .

            Also ist f surjektiv.

Probleme bei Teil 2 ?

Comments

Ein injektiver Gruppenhomomorphismus liegt vor wenn m=n ist. Wenn m<n ist wäre zwar Injektivität gegeben aber aufgrund der Äquivalenzklassen gibt es Probleme. z.B. m=2,n=4 wenn a,b=1 dann ist f([1]2+2[1]2)=[0]4 aber f([1]2)+4f([1]2)=[1]4+4[1]4=[2]4

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Bei Teil zwei muss man gucken ob das eine assoziativ ist. Wie zum Beispiel

(a*b)*c=a*(b*c)

Ja, weil 2*(3*1)= (2*3)*1

6= 6 ergibt ?