Question

ℤ[x] abzählar oder überabzählbar ?

Meine antwort ist: es ist abzählbar, da es von x abhängig ist und somit aber auch beschränkt.

Ist das so richtig?

Comments

Was bedeutet ℤ[x]?

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Heißt das nicht ,,di ganzen Zahlen [x]" ?

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Was soll denn das x ausdrücken? Die ganzen Zahlen werden einfach nur mit ℤ bezeichnet.

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Das x drückt soch aus, dass es eine Zahl in den ganzen Zahlen ist. Oder? :D

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Wenn ich dich richtig verstehe, kennst auch du nicht den Unterschied zwischen ℤ und ℤ[x]. Falls einfach nur ℤ gemeint sein sollte, ist ℤ als Vereinigung endlich vieler abzählbarer Mengen natürlich abzählbar.

Answer 1

\(\mathbb{Z}[X]\) ist die Menge aller ganzzahligen Polynome.

Ist \(n\in \mathbb{N}\), so bezeichne \(P_n\) die Menge

der Polynome aus \(\mathbb{Z}[X]\), deren Grad \(\leq n\) ist.

Nun ist \(P_n\) gleichmächtig zu \(\mathbb{Z}^{n+1}\), also abzählbar,

da cartesische Produkte mit endlich vielen abzählbaren Faktoren

abzählbar sind.

\(\mathbb{Z}[X]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}P_n\) ist dann eine Vereinigung

abzählbar vieler abzählbarer Mengen, also selbst abzählbar.

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Danke dir :D