Bernoullische Ungleichung: f hat eine Nullstelle im Innern des Intervalls

Question

Wir betrachten die stetige Funktion f: [0,∞) → ℝ mit f (x) = xⁿ - a ,

wobei a >0 und n ∈ℕ. Wir wählen eine Zahl h ∈ ℝ mit h ≥ -1 und h > a-1 / n .

Erläutern Sie mithilfe der Bernoullischen Ungleichung: f hat eine Nullstelle im Innern des Intervalls [0,1+h].

Welchen Satz benutzen Sie?

Answer 1

Hallo..

ich hab das eben mal ausprobiert und hab folgendermaßen argumentiert:

Unsere Funktion lautet ja f(x)=xⁿ-a und wir sollen mit der Bernoullischen Ungleichung zeigen dass f(x) eine Nullstelle im Intervall [0,1+h] besitzt.

Unser h ist ≥-1 und h>(a-1)/n

Dann hab ich zuerst die Ungleichung nach a umgeformt

h>(a-1)/n

nh>a-1

1+nh>a

und da wir ja die Bernoullische Ungleichung ins Spiel bringen sollen können wir nochmal abschätzen nämlich

(1+h)ⁿ>1+nh>a>0    jetzt sehen wir ja dass ganz links fast unsere Funktion dasteht. Das Einzige was wir noch machen müssen ist a abziehen.

(1+h)ⁿ-a>1+nh - a>0>0ⁿ-a

Eine schöne Ungleichungskette und wir sehen dass ganz links unsere Funktion an der Stelle 1+h steht und ganz rechts unsere Funktion an der Stelle 0. Durch das Abschätzen mit der Bernoullischen Ungleichung wissen wir, dass (1+h)ⁿ>a ist. Folglich ist unsere Funktion  (1+h)ⁿ-a größer als 0 und ganz rechts 0ⁿ-a auf jeden Fall kleiner als 0..

Jetzt kommt der abschließende Satz..

Da unsere Funktion stetig ist auf dem geschlossenen Intervall [0,1+h] und an der unteren Intervallgrenze negativ, an der oberen positiv folgt mit dem Zwischenwertsatz, dass die Funktion eine Nullstelle innerhalb des Intervalls haben muss.

mfg

Dennis