Ausmultiplizieren eines Terms mit Bruch

Question

Aufgabe

Ausmultiplizieren eines Bruchs mit Potenz im Nenner

$$ 2\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) $$
$$ 2-\frac{1}{2^{n-1}} $$

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist wie man auf diese 2 hoch n minus 1 kommt.

Vielen Dank im voraus

Answer 1

Hi,

das kann mit den Potzengesetzen erklären: \(\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}\) bzw. bei uns: \(\frac{a^b}{a^c} = \frac{1}{a^{c-b}}\)

Oder anders: Man kann den Zähler oder Nenner wechseln, indem man das Vorzeichen des Exponenten vertauscht.

Grüße

Comments

Danke erstmal für die schnelle Antwort:)

Muss ich diesen Bruch nicht mit der 2 multiplizieren?

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Genau das hast Du ja gemacht ;).

\(2\cdot \frac{1}{2^n} = \frac{2^1}{2^n} = \frac{1}{2^{n-1}}\)

Du hättest auch vom zweiten auf den dritten Schritt schreiben können:

\(\frac{2^1}{2^n} = 2^{1-n}\)

Du hast also den Nenner hochgeholt, indem Du den Exponenten des Nenners umgedreht hast (und dann wegen der gleichen Basis, hast Du das mit der 1 verrechnet).

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Jetzt ergibt es Sinn:) vielen Dank:)

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Könnten Sie mir vielleicht noch erklären wie man von

\( \frac{2*2^{n}-2+1}{2^{2}} \)

auf

\( \frac{2^{n+1}-1}{2^{2}} \)

kommt. Also dieses Minus 1 ist klar. -2 +1 = -1. Aber wie kommt man auf dieses
\( 2^{n+1} \)

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hab gerade nochmal hingeschaut und es selbst herausgefunden :) sry für den Kommentar

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Umso besser :).
Wenn noch was ist, gerne auch als neue Frage. Bin nur noch sporadisch da heute ;).

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Eine hätte ich tatsächlich noch :)

Wie komme ich von 2-\( \frac{1}{2^{n}} \) auf  2-\( \frac{2}{2^{n+1}} \) und von da auf

2-(1-\( \frac{1}{2^{n+1}} \))

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Hier wurde der hintere Term mit 2 erweitert. Wenn man den Nenner mit 2 erweitert, kann man ihn auch einfach als +1 in den Exponenten übernehmen.

Danach wurde 2 ausgeklammert. Da muss bei Dir vor die Klammer also ein Malpunkt und kein Minus.

Reicht der Schubs schon? ;)

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Würde das dann so aussehen

\( \frac{2}{1} \) * \( \frac{1}{2^{n}} \)

= 2*1 = 2 im Zähler und \( 2^{1} \) * \( 2^{n} \) = \( 2^{1+n} \) oder halt anders rum

\( 2^{n+1} \)

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\(\frac 21 \cdot \frac{1}{2^n} = \frac{2\cdot1}{1\cdot2^n} = \frac{2}{2^n}\)

Das passt bei Dir also nicht ganz.

Obiges nochmals etwas langsamer.

Ausgangsterm:

\(2-\frac{1}{2^n}\)

Erweitern des hinteren Terms mit 2

\(2-\frac{2\cdot1}{2\cdot2^n}\)

\(2-\frac{2}{2^{n+1}}\)

Ausklammern von 2

\(2\cdot1-\frac{2\cdot1}{2^{n+1}} = 2\cdot\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)\)

Ok? ;)

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Jetzt ja danke :)

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Gerne :)     .

Answer 2

$$2(1- \frac{1}{2^n})=2- \frac{2}{2^n} =2- \frac{1}{2^{n-1}}$$

Comments

Vielen Dank:)