Eigenschaften der Grammatrix

Question

Es sei $G \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine Matrix und die Bilinearform $f(u, v)=\sum \limits_{i-1}^{n} \sum \limits_{j-1}^{n} G_{i j} l_{i}(u) l_{j}(v)$ gegeben, wobei $B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ eine Basis des $\mathbb{R}^{n}$ mit zugehöriger dualer Basis $L=\left(l_{1}, \ldots, l_{n}\right)$ sei.

Welche Antworten sind richtig?

Antworten:

1. Wenn $G$ symmetrisch ist, d.h. $G^{T}=G$ gilt ist auch $f$ symmetrisch.

2. Wenn $f$ symmetrisch ist ist auch $G$ symmetrisch.

3. Gilt det $G>0$ ist $G$ positiv definit

4. Wenn $G$ diagonalisierbar ist mit den Eigenwerten $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ und gilt für alle Eigenwerte $\lambda_{i}>0$ ist $f$ positiv definit.

5. Gilt $G=I_{n}$ so handelt es sich bei $f$ um ein Skalarprodukt und bei $B$ um eine Orthonormalbasis.

Comments

Wenn man weiß, wie eine Grammatrix aufgebaut ist und welche Bedingungen gelten müssen, kannst du diese Aufgabe leichter lösen