Behauptung: Stammfunktion von f(x) = sin(2x) ist F(x)= (1/2)*(-cos(2x)).
Begründung:
Setze einfach mal F(x) = -cos(2x) + C an. Die Periodenlänge kann ja beim Auf- und Ableiten nicht ändern.
Nun leiten wir das zur Kontrolle (Justierung) noch ab.
Da ist die Kettenregel nötig, da u = 2x eine innere Funktion ist. Es gilt u' = 2.
(-cos(u) )' = sin u
F'(x) = sin u * u' = sin(2x)* 2 = 2*sin(2x) offensichtlich ist da jetzt ein Faktor 2 vor dem sin zu viel.
Korrigierte Stammfunktion
F(x) = -1/2 cos(2x) + C
Zur Probe nun nochmals ableiten.
F ' (x) = 1/2 sin u * u' = 1/2 sin(2x) * 2 = sin(2x). Stimmt jetzt.