Kurvendiskussion von sin(x) und sin(1/x)

Question

Zur folgenden Aufgabe sollen Kurvendiskussionen geführt werden:

Gegeben ist die Funktion: \( f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right) \)

a) Zuerst die Funktion \( g(x)=\sin (x) \) betrachten.
1.) Nullstellen
2.) Hoch-und Tiefpunkte
3.) Periodizität beachten und allgemeinen Audruck für \( 1 . \).) und \( 2 . \).

b) Exisistiert der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right) ? \) Begründung.

c) \( f(x) \) analysieren:
1.) Definitions-und Wertebereich
2.) Nullstellen
3.) Extrema
4.) Grenzwerte für \( x \rightarrow \pm \infty \) bestimmen

d) Graphen der Funktion \( f(x) \) skizzieren

Lösungsvorschläge:

a)
1.) Nullstellen: π+2k {-π+k*π,π+k*π}

2.) Hochpunkte: π/2+2k {-π/2+2k,π/2+2k}
Tiefpunkte: 3π/2+2k {-3π/2+2k,3π/2+2k}

3.) Periodizität: 2π*k {-2π*k,2π*k,}

b)
Grenzwerte: lim{x→∞} sin(1/x)=0 oder Grenzwert ist nicht definiert, da 1/0 nicht lösbar ist. (?)

c)
1.) DB: {x∈ℝ:x≠0}
WB: {y∈ℝ:-1≤y≤1}

2.) Nullstellen: viele Nullstellen zwischen {-0,5<x<0,5}, siehe auch Skizze

3.) Extrema:
max: 1
min: -1

4.) Grenzwerte: lim{x→∞} sin(1/x)=0

d)
Skizze:


Bitte um Überprüfung meiner Lösungsansätze.

Answer 1

Hallo

b)
deine Frage lim x -> 0, in deiner Antwort lim {x→∞} . Was nun ?

   Sollte lim x -> 0 gefragt sein ergibt sich 1/x geht gegen unendlich. Die sin Funktion
bewegt sich zwischen -1 und 1. Unendlich ist kein konkreter Wert. sin(unendlich)
ist nicht definiert.

c.1) stimmt
c.2) die erste Nullstelle der sin Funktion wäre PI
sin(Pi) = 0 = sin(1/x)
1/x = PI
x = 1/PI
x = 0 entfällt ( ist auch nicht im Def-Bereich )
Weitere Nullstelle sin(2*PI ) :
2*PI = 1/x
x = 1/(2*PI)
alle Stellen : x =1/(k*PI)
c.3) Extrema
1.Extremum bei sin(pi/2) Hochpunkt
pi/2 = 1/x
x = 2/pi
weitere Stellen, wie Schema Nullstelle
c.4)
lim x-> unendlich : 1/x geht gegen null
sin(0) = 0

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mfg Georg

Comments

Ich habe deine Ausarbeitungen nochmal eingegeben, um es übersichtlicher darzustellen. Meine Frage ist, was ist der Tiefpunkt (Teilaufgabe c) 3.] Extrema)? Ist es x=2/π? Und alles andere ist soweit korrekt, oder?

Korrektur:

Aufgabe b:
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=\infty \)

Aufgabe c:
2.
\( \sin (\pi)=0=\sin \left(\frac{1}{x}\right) \)
\( \frac{I}{x}=\pi \)
\( x=\frac{1}{\pi} \)
\( \sin \left(2^{x} \pi\right)=\frac{1}{x} \)
\( x=\frac{1}{\left(2^{*} \pi\right)} \)
alle Stellen:
\( x=\frac{1}{k^{*} \pi} \)

3. Extrema/Extremum
\( \sin \frac{\pi}{2} \quad(\text {Hochpunkt}) \)
\( \frac{\pi}{2}=\frac{1}{x} \)
\( x=\frac{2}{\pi} \)

4. \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \)
\( \sin (0)=0 \)

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Hallo  ,

  zu 3.c)

  Hochpunkte der sin ( x ) Funktion : 1*pi/2, 5*pi/2, 9 * pi/2 usw
  Hochpunkte der sin ( 1/ x ) Funktion :
  1 / x = 1*pi / 2 => x = 2 / (1*pi)
  1 / x = 5 *pi /2 => x = 2 / (5*pi)
  1 / x = 9 *pi /2 => x = 2 / (9*pi)
  allgemein : x = 2 / [( 4*k + 1)*pi ] k ∈ Natürlichen Zahlen und die 0

  Tiefpunkte der sin ( x ) Funktion : 3*pi/2, 7*pi/2, 11 * pi/2 usw
  Tiefpunkte der sin ( 1/ x ) Funktion :
  1 / x = 3*pi / 2 => x = 2 / 3*pi)
  1 / x = 7 *pi /2 => x = 2 / (7*pi)
  1 / x = 11 *pi /2 => x = 2 / (11*pi)
  allgemein : x = 2 / [( 4*k + 3)*pi ] k ∈ Natürlichen Zahlen und die 0

  Unglücklichsterweise geht die sin Funktion auch in den
negativen Zahlenbereich ( nach links ). Die sin-Funktion
ist eine spiegelsymmetrische Funktion zum Ursprung.
Das heißt nach links müßtest du auch noch die Reihe
aufstellen.

  Hochpunkte der sin ( x ) Funktion : -3*pi/2, -7*pi/2, -11 * pi/2 usw
  Hochpunkte der sin ( 1/ x ) Funktion :
  1 / x = -3*pi / 2 => x = 2 / 3*pi)
  1 / x = -7 *pi /2 => x = 2 / (7*pi)
  1 / x = -11 *pi /2 => x = 2 / (11*pi)
  allgemein : x = 2 / [( 4*k - 3)*pi ] k ∈ negativen ganzen Zahlen und null

  Tiefpunkte der sin ( x ) Funktion : -1*pi/2, -5*pi/2, -9 * pi/2 usw
  Tiefpunkte der sin ( 1/ x ) Funktion :
  1 / x = -1*pi / 2 => x = 2 / (1*pi)
  1 / x = -5 *pi /2 => x = 2 / (5*pi)
  1 / x = -9 *pi /2 => x = 2 / (9*pi)
  allgemein : x = 2 / [( 4*k - 1)*pi ] k ∈ negativen ganzen Zahlen und null

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

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Aha, jetzt macht es einen Sinn! Gut vielen Dank für deinen ausführlichen und nachvollziehbaren Rechenweg. Gut, und der Rest wird korrekt sein sonst hättest du es bereits geschrieben.